A problem on the additive theory of number of several va\-riables. (Q2606063)

\(P (x, y)\) und \(P'(x, y)\) seien ganzwertige Polynome. Zu keiner Primzahl \(p\) gebe es ganze rationale Zahlen \(q\), \(q'\), \(l\) so, daß identisch \(qP(x, y) + q'P'(x, y)\equiv l\pmod p\) ist und \(q\), \(q'\) nicht beide durch \(p\) teilbar sind. Dann wird bewiesen, daß man für pas\-sendes \(s\) ein System von \(s\) Zahlen \(\varepsilon_1\),\dots, \(\varepsilon_s\) so angeben kann, daß jedes \(\varepsilon_\nu\) einen der Werte 1 und \(- 1\) hat und je zwei ganze rationale Zahlen \(n\) und \(n'\) simultan in der fol\-genden Gestalt darstellbar sind: \(n\) ist Summe von \(s\) Zahlen von der Gestalt \(\varepsilon_\nu P(x_\nu, y_\nu)\) (\(\nu=1\),\dots, \(s\)) mit ganzen rationalen \(x_\nu\) und \(y_\nu\), und \(n'\) ist die Summe der mit denselben \(x_\nu\) und \(y_\nu\) gebildeten Werte \(\varepsilon_\nu P'(x_\nu, y_\nu)\). Der Beweis verläuft mit Mitteln der Diffe\-renzenrechnung; die diophantischen Gleichungen werden dabei zunächst durch Kon\-gruenzen ersetzt. Ist \(k\) der größte der beiden Grade von \(P\) und \(P'\), so zeigt sich, daß schon ein \(s\leqq2^kk-1\) das Gewünschte leistet. Für die Verallgemeinerung des Problems auf \(t\) Veränderliche wird zum Schluß ein entsprechender Satz mit \(s=O(2^kk^{t-1})\) erwähnt.