On an extension of some formulae of Ramanujan. (Q2606077)

Für die Funktion \[ \sigma(x)=-\gamma-\frac12\log x-\frac1{4\pi x}+\frac x\pi {\sum\limits_{n=1}^{\infty}}\frac{\tau(n)}{x^2+n^2} \] (wo \(\gamma\) die \textit{Euler}sche Konstante ist und \(\tau(n)\) die Anzahl der positiven Teiler von \(n\)) beweist Verf. folgende Formeln: \[ \sqrt{a^3}{\int\limits_{0}^{\infty}}xJ_0(ax)\left\{\sigma(x)+\dfrac1{4\pi x} \right\}\,dx= \sqrt{b^3}{\int\limits_{0}^{\infty}}xJ_0(bx)\left\{\sigma(x)+\dfrac1{4\pi x} \right\}\,dx \tag{"}\indent1." \] (\(J_0 =\) \textit{Bessel}sche Funktion), wo \(ab=4\pi^2\). 2. Es sei \[ \begin{gathered} \varepsilon=e^{\frac14\pi i},\\ \begin{aligned} \varphi(a)&=\frac14{\int\limits_{0}^{\infty}}\big( J_0(\overline{\varepsilon}a\sqrt x)+ J_0(\varepsilon a\sqrt x)\big)\sigma(\sqrt x)\,dx,\\ \psi(a)&=\frac1{4i}{\int\limits_{0}^{\infty}}\big( J_0(\overline{\varepsilon}a\sqrt x)J_0(\varepsilon a\sqrt x)\big)\sigma(\sqrt x)\,dx-\frac1{a^2}.\\ \end{aligned}\\ \end{gathered} \] Dann ist \[ \varphi(a)=-\psi(a)+\psi(b)\sqrt{\frac{2b^3}{a^3}},\qquad \psi(a)=-\varphi(a)+\varphi(b)\sqrt{\frac{2b^3}{a^3}}, \] wo \(ab=4\pi^2\). \[ {\sum\limits_{n=1}^{\infty}}\tau(n)n^{4m+1}\sigma(n) = \zeta^2(-4m-1)\left\{\log2\pi\frac{\zeta'(4m+2)}{\zeta(4m+2)}-{\sum\limits_{k=1}^{4m+1}}\frac1k\right\} \tag{"}\indent3." \] (\(m\) ganz-rational \(> 0\); \(\zeta=\) \textit{Riemann}sche \(\zeta\)-Funktion). \[ {\sum\limits_{n=1}^{\infty}}n\tau(n)\,\sigma(n)=\frac1{144} \left\{\log2\pi-1-\frac6{\pi^2}\zeta'(2)\right\}-\frac1{32\pi}. \tag{"}\indent4." \] \textit{Ramanujan} hatte ähnliche Formeln bewiesen für die Funktion \[ \sigma_0(x)=\frac1{e^{2\pi x}-1} \] statt \(\sigma(x)\). Statt der \textit{Bessel}schen Funktionen traten dabei goniometrische Funktionen auf (\textit{Ramanujan}, Collected papers (1927; F. d. M. 53, 30 (JFM 53.0030.*)), 326 (Question 387), 75 (14), 60 (10) und (\(10'\))).