Über einige Verallgemeinerungen eines Satzes von Hardy und Ramanujan. (Q2606083)

Verf. gab kürzlich (J. London. math. Soc. 9 (1934), 274-276; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 145-146) eine einfache Methode zum Beweis des folgenden \textit{Hardy-Ramanujan}schen Satzes an: \(\nu(n)\) bedeute die Anzahl der Primteiler von \(n\). Dann ist die Anzahl derjenigen Zahlen \(n\leqq N\), für welche eine der Ungleichungen \begin{align*} \nu(n)&\geqq\log\log N + \varPhi(N)\sqrt{\log\log N},\\ \nu(n)&\leqq\log\log N - \varPhi(N)\sqrt{\log\log N} \end{align*} gilt, \(o(N)\), wenn nur \(\lim\limits_{N\to\infty}\varPhi(N) = + \infty\). (Dabei ist es gleichgültig, ob mehrfache Primfaktoren mehrfach oder nur einmal gezählt werden.) Verf. zeigt jetzt, daß die verwendete Methode wesentlich allgemeinere Resultate liefert. Er beweist nämlich: 1) Es sei \(\psi(n)\) eine zahlentheoretische Funktion mit den folgenden Eigenschaften: \begin{itemize} \item[a)] \(\psi(\mu)\geqq0\); \item[b)] \(\psi(p)\leqq K\) für alle Primzahlen \(p\); \item[c)] \(A(N) =\sum_{p\leqq N}\frac{\psi(p)}p\to\infty\) bei \(N\to\infty\); \item[d)] \(\psi(n)=\sum_{p \mid n}\psi(p)\), \end{itemize} wobei die Summe über alle verschiedenen Primteiler von \(n\) zu erstrecken ist. Dann ist die Anzahl der Zahlen, für welche eine der Ungleichungen \begin{align*} \psi(n)&\geqq A(N) + \varPhi(N)\sqrt{A(N)},\\ \psi(n)&\leqq A(N) - \varPhi(N)\sqrt{A(N)} \end{align*} erfüllt ist, \(o(N)\), wenn nur \(\lim\limits_{N\to\infty}\varPhi(N) = + \infty\). Für \(\psi(p)=1\) ergibt sich der \textit{Hardy-Ramanujan}sche S atz. Ein entsprechender Satz gilt, wenn in d) über alle Primteiler von \(n\) summiert wird. -- Falls \(\sum\dfrac{\psi(p)}p\) konvergiert und \(\psi(p_i)\) und \(\psi(p_k)\) für ver\-schiedene Primzahlen \(p_i\), \(p_k\) stets verschieden ausfallen, ist das Verhalten -- wie \textit{Erdös} bewiesen hat (J. London math. Soc. 10 (1935), 120-125; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 131-132) -- ein anderes: Die Anzahl der Zahlen \(n\leqq N\), für welche \(\psi(n)\geqq B\) ist, ist asymptotisch \(C (B) N\), wo \(C (B)\) eine monotone und stetige Funktion ist. 2) Ist \(g (p)\) eine multiplikative zahlentheoretische Funktion mit folgenden Eigen\-schaften: \begin{itemize} \item[a)] \(1\leqq g(p)\leqq K\), \item[b)] \(g (p)\leqq g(p^\alpha)\leqq g(p)^\alpha\) für alle \(p\) und \(\alpha\geqq1\), \item[c)] \(g (mn) = g(m)g (n)\) für \((m, n) = 1\), \item[d)] \(B(N) =\sum_{p\leqq N}\frac{\log g(p)}p\to\infty\) wenn \(N\to\infty\), \end{itemize} dann erfüllen für \(\varepsilon > 0\) fast alle Zahlen \(n\leqq N\) die Ungleichung \[ e^{B(N)-B(N)^{\frac12+\varepsilon}}\leqq g(n)\leqq e^{B(N)+B(N)^{\frac12+\varepsilon}} \] bei \(N\to\infty\). Anwendung: Ist \(T (n)\) die Anzahl der Teiler von \(n\), so ist \[ 2^{\log\log N-(\log\log N)^{\frac12+\varepsilon}}\leqq T(n)\leqq 2^{\log\log N+(\log\log N)^{\frac12+\varepsilon}} \] für fast alle \(n\leqq N\) (\textit{Hardy-Ramanujan}). 3) Es sei \(F (x)\) ein Polynom von beliebigem Grade mit ganzzahligen Koeffizienten, welches in \(r\) irreduzible Faktoren zerfällt. Dann ist die Anzahl derjenigen ganzen Zahlen \(n\leqq N\), für welche eine der Ungleichungen \[ \begin{gathered} \nu \{| F (n)| \}\leqq r \log\log N- (\log\log N)^{\frac12+\varepsilon},\\ \nu \{| F (n)| \}\geqq r \log\log N+ (\log\log N)^{\frac12+\varepsilon} \end{gathered} \] gilt, \(o(N)\). Hierbei sind in \(r\) mehrfache Primteiler des Polynoms einfach oder mehr\-fach zu zählen, je nachdem man in \(\nu(m)\) mehrfache Primteiler von \(m\) einfach oder mehr\-fach zählt. Anwendung: Ist \(P_x\) der größte Primteiler von \(x^2+1\), so ist für fast alle \(x\leqq N\) \[ P_x>x^{\frac2{(1+\varepsilon)\log\log N}} \] (vgl. hierzu das Resultat von \textit{Mahler} in Arch. Mat. Nat., Oslo, 41 (1933), Nr. 1; F. d. M. \(60_{\text{II}}\), 939).