Verzweigungstheorie in allgemeinen Ordnungen algebraischer Zahlkörper. (Q2606111)

Sei \(\mathfrak o\) eine beliebige Ordnung vom Rang \(n\) in einem algebraischen Zahlkörper \(K\) vom Grad \(n\) mit der Hauptordnung \(\mathfrak O\). \textit{E. Noether} ( J. reine angew. Math. 157 (1926), 82-104; F. d. M. 52, 125 (JFM 52.0125.*)) hat den \textit{Dedekind}schen Diskriminantensatz von \(\mathfrak O\) auf \(\mathfrak o\) verallgemeinert: Die Diskriminantenteiler \(p\) von \(\mathfrak o\) sind durch das Auftreten einer eigentlichen Primärkomponente bei ihrer Zerlegung in \(\mathfrak o\) charakterisiert. Hier wird der schärfere \textit{Dedekind}sche Differentensatz von \(\mathfrak O\) auf \(\mathfrak o\) verallgemeinert. Die Verzweigung wird am Verzweigungsmodul \(\mathfrak v = \mathfrak o'|\mathfrak o\) gemessen, wo \(\mathfrak o'\) der Komplementärmodul zu \(\mathfrak o\) ist. Dieser besitzt entsprechend den Primidealen \(\mathfrak p\) aus \(\mathfrak o\) eine direkte Summenzerlegung in formal unendlich viele Primärkomponenten \(\mathfrak v(\mathfrak p)\). Die Länge von \(\mathfrak v (\mathfrak p)\) wird als die zu \(\mathfrak p\) gehörige Verzweigungszahl \(v(\mathfrak p)\) erklärt. Eine grobe Aussage in Richtung auf den Hauptsatz ist, daß diese Verzweigungszahl \(v(\mathfrak p)\) dann und nur dann positiv ist, wenn zu \(\mathfrak p\) eine eigentliche Primärkomponente in der Zerlegung von \(p\) in \(\mathfrak o\) gehört. Die feinere Aussage besteht in einem additiven Aufbau von \(v(\mathfrak p)\) aus drei nichtnegativen Bestandteilen: 1. einer Verallgemeinerung der Größe \(e- 1\) aus dem gewöhnlichen \textit{Dedekind}schen Differentensatz, 2. einer Verallgemeinerung der dort auftretenden Supplementzahl, 3. einem wesentlich neuen Bestandteil, der sozusagen den unechten, außerwesentlichen Teil der Verzweigung mißt. Hieraus ergibt sich durch Übergang zu den Normen die genaue Primärzerlegung der Diskriminante von \(\mathfrak o\) und speziell der angeführte \textit{E. Noether}sche Diskriminantensatz für \(\mathfrak o\). Ferner ergibt sich der Differentensatz für \(\mathfrak o\) in folgender Fassung: Dann und nur dann ist \(\mathfrak p\) ein Teiler der Differente \(\mathfrak d = \mathfrak o : \mathfrak o'\) von \(\mathfrak o\), wenn zu \(\mathfrak p\) eine eigentliche Primärkomponente in der Zerlegung von \(p\) in \(\mathfrak o\) gehört. Als notwendige und hinreichende Bedingung für die Umkehrbarkeit von \(\mathfrak o'\), d. h. für \(\mathfrak d\mathfrak o' = \mathfrak o\), und damit nach \textit{Dedekind} für die Gruppeneigenschaft der \(\mathfrak o\)-Moduln aus \(K\), ergibt sich aus diesen Betrachtungen einerseits \(\mathfrak d^0=\mathfrak o\), andrerseits daß die Primärkomponenten aller im außerwesentlichen Teiler der Diskriminante von \(\mathfrak o\) aufgehenden Primzahlen irreduzible Ideale im Sinne von \textit{E. Noether} sind. Dies letztere Ergebnis erlaubt es, die Ordnungen \(\mathfrak o\) mit Gruppeneigenschaft der zugehörigen \(\mathfrak o\)-Moduln dadurch zu charakterisieren, daß die in \(\mathfrak o\) liegenden Primärideale \(\mathfrak q\) mit \(\mathfrak q^0 = \mathfrak o\) sämtlich irreduzibel sind; fordert man, daß sogar alle in \(\mathfrak o\) liegenden Primärideale irreduzibel sind, so folgt \(\mathfrak o = \mathfrak O\). Unter diesem Gesichtspunkt einer idealtheoretischen Charakterisierung der Ordnungen \(\mathfrak o\) mit umkehrbarem Komplement \(\mathfrak o'\) gewinnen die Ergebnisse des Verf. eine über die Verzweigungstheorie hinausreichende Bedeutung.