Der Euklidische Algorithmus in quadratischen Körpern. (Q2606120)

Die Untersuchungen über die Existenz des Euklidischen Algorithmus (``E. A.'') in dem durch \(\sqrt m\) (\(m > 1\), ganz rational, quadratfrei) erzeugten Körper \(K(\sqrt m)\) stützen sich hier auf folgenden Hilfssatz: Existiert der E. A. und ist \(r\) eine Zahl \(0 < r < m\), für die \(x^2 \equiv r \pmod m\) lösbar ist (\(x\) ganz rational), so ist eine der Zahlen \(r\) oder \(r - m\) Norm einer ganzen Zahl aus \(K (\sqrt m)\). -- Zunächst wird das Resultat von \textit{Berg} (Über die Existenz eines Euklidischen Algorithmus in quadratischen Zahlkörpern, Förh. Fysiograf. Sällsk. Lund 5 (1935), Nr. 5; F. d. M. 61\(_{\text{II}}\)), daß bei \(m \not\equiv 1 \pmod 4\) der E. A. nur für \(m = 2\), 3, 6, 7, 11, 19 gilt, in einfacherer Weise hergeleitet, wobei für \(m = 2\), 3, 6, 7, 11, 14 die Resultate von \textit{Perron} (Math. Ann. 107 (1932), 489-495; JFM 58.0181.*-182) und \textit{Hofreiter} (Math. Ann. 110 (1934), 195-196; JFM 60.0933.*) herangezogen werden. Für \(m \equiv 1 \pmod 4\) wird bewiesen, daß es keine zusammengesetzten Zahlen \(m \equiv 5 \pmod 8\) außer höchstens \(m = 3p\), \(p \equiv 3 \pmod 4\) gibt, für die in \(K (\sqrt m)\) der E. A. gilt (nach \textit{Hofreiter} (Quadratische Körper mit und ohne euklidischen Algorithmus, Mh. Math. Phys. 42 (1935), 397-400; F. d. M. 61\(_{\text{II}}\)) ist \(m =21\) der einzige Ausnahmefall), und daß bei \(m \equiv 5 \pmod {24}\) der E. A. nur für \(m = 5\) und \(m = 29\) existiert.