Mittelwerte arithmetischer Funktionen in Zahlkörpern. (Q2606122)

Es sei \(K\) ein reeller quadratischer Zahlkörper. Die Funktion \(f(\xi)\), welche für alle ganzen Zahlen \(\xi\) von \(K\) definiert sei, habe die folgenden Eigenschaften: Es soll in \(K\) eine Einheit \(\varepsilon \neq \pm 1\) geben, derart, daß \(f(\varepsilon\xi) = f(\xi)\), und wenn \(\xi'\) die Konjugierte von \(\xi\) ist, soll für geeignetes positives \(c\) \[ f(\xi) = O(|\xi\xi'|^c) \quad (\xi \neq 0) \] sein. Weiter seien \(x\) und \(x'\) positive Zahlen und \(r > 1\), und es sei \[ g(x,x')= \sum_{_{\substack{ 0<\xi x < 1\\ 0<\xi'x'<1 }}} f(\xi)(1-\xi x)^{r-1}(1-\xi' x')^{r-1}. \] Verf. beweist folgende Formel: Für \(\sigma > c + 1\) ist \[ g(x,x') = \frac 1{2\pi i \log \varepsilon} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \int\limits_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} (xx')^{-s}\left(\frac x{x'}\right)^{\frac{\pi ik}{\log \varepsilon}} B\left(r,s-\frac{\pi i k}{\log \varepsilon}\right) B\left(r,s+\frac{\pi i k}{\log \varepsilon}\right)\varphi_k(s)\,ds, \] wo \(B\) die \textit{Euler}sche Betafunktion ist und \[ \varphi_k(s)= \sum{}' f(\xi)(\xi\xi')^{-s} \left(\frac{\xi}{\xi'}\right) ^{\frac{\pi i k}{\log\varepsilon}}\quad (k = 0, \pm 1, \pm 2,\ldots). \] In der letzten Summe durchläuft \(\xi\) ein volles System nicht-assoziierter (in bezug auf die von \(\varepsilon\) erzeugte zyklische Gruppe) ganzer total-positiver Zahlen. Diese Formel ist eine Art Verallgemeinerung der bekannten Formel für die Koeffizientensumme einer \textit{Dirichlet}schen Reihe. Verf. spezialisiert sodann obige Formel für \(r= 1\). Die Betafunktionen werden dann elementare Funktionen. Man erhält eine Formel für \[ \int\limits_0^y \int\limits_0^{y'}F^0(x + v, x' + v')\,dv\,dv', \] wo \[ F^0(v, v') = \sum_{_{\substack{ 0<\xi<v\\ 0<\xi'<v' }}} f(\xi), \tag{1} \] und aus dieser Formel kann eine Näherungsformel für \(F^0(x,x')\) hergeleitet werden. Wenn die Summation in (1) nicht über das Rechteck \(0 < \xi< v\), \(0 < \xi' < v'\), sondern über ein beliebiges Gebiet \(G\) erstreckt wird, kann man \(G\) durch Rechtecke annähern. Als Anwendung gibt Verf. eine asymptotische Formel für \[ \sum_{\xi\,\text{in}\,G} \tau(\xi), \] wo \(\tau(\xi)\) die Anzahl der nicht-assoziierten total-positiven Teiler von \(\xi\) und \(G\) ein im ersten Quadranten liegendes Gebiet ist. Ist z. B. \(G\) das Rechteck \[ a \leqq x \leqq b, \quad a' \leqq y \leqq b', \] so gilt für jedes \(\delta > 0\): \[ \sum_{\xi\,\text{in}\,G} \tau(\xi) = \iint\limits_G\left( \frac{\log\varepsilon}d \log(uu') + \frac{2\gamma}{\sqrt d}\right)\,du\,du' + O((bb')^{\frac 23+\delta}), \] wo \(d\) die Diskriminante von \(K\) ist und \(\gamma\) eine durch \(K\) bestimmte Zahl darstellt.