Über die \(L\)-Funktionen in gewissen algebraischen Zahlkörpern. (Q2606131)

Es sei \(k\) ein algebraischer Zahlkörper und \(K\) eine galoissche Erweiterung von \(k\), die auch über dem rationalen Zahlkörper \(R\) galoissch ist. Betrachtet werden die \textit{Artin}schen \(L\)-Funktionen \[ L(s,\chi) = L(s,\chi,K/k) = L(s,X_\chi,K/R), \] die den einfachen Charakteren \(\chi\) der \textit{Galois}gruppe \(\mathfrak H\) von \(K/k\) entsprechen und die wie angegeben auch durch die induzierten Charaktere \(X_\chi\) der \textit{Galois}gruppe \(\mathfrak G\) von \(K/R\) darstellbar sind. Gefragt wird nach den multiplikativen Abhängigkeiten zwischen den \(L(s,\chi)\). Diese spiegeln sich nach \textit{Artin} getreu in den additiven Abhängigkeiten zwischen den \(X_\chi\) wieder. Ist auch \(k/R\) galoissch, d. h. \(\mathfrak H\) Normalteiler von \(\mathfrak G\), so bestehen die trivialen Abhängigkeiten \(L(s,\chi') = L (s, \chi)\), wenn \(\chi'\) zu \(\chi\) konjugiert ist, d. h. \(\chi'\) aus \(\chi\) durch Transformation mit einem Element aus \(\mathfrak G\) entsteht. Die einem vollen System nicht-konjugierter \(\chi\) entsprechenden \(L(s,\chi)\) sind dann unabhängig, wie Verf. früher bewiesen hat (Proc. Imp. Acad. Tokyo 11 (1935), 132-134; JFM 61.0168.*). Ist aber \(k/R\) nicht galoissch, so ist der Sachverhalt verwickelter. Verf. betrachtet hier den Fall, daß \(k/R\) von Primzahlgrad \(p\) ist und der zugehörige galoissche Körper \(k'/R\) als \textit{Galois}gruppe die volle lineare Gruppe mod \(p\) von der Ordnung \(p(p-1)\) hat. Dann enthält also \(\mathfrak G\) die \(k'\) zugeordnete Untergruppe \(\mathfrak H'\) als Normalteiler mit dieser vollen linearen Gruppe als Faktorgruppe. Er leitet eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Gleichheit \(L(s,\chi') = L(s,\chi)\) her und gibt für den Fall, daß \(p-1\) quadratfrei ist, alle Abhängigkeiten zwischen den \(L(s,\chi)\) an.