Über Gitter konstanter Dichte. (Q2606149)

Ein \(n\)-dimensionales Gitter (es sei in rechtwinkligen Koordinaten durch \[ \xi_i = a_{i1} x_1 + \cdots + a_{in}x_n \quad (x_k \;\text{ganz-rational}; \;i, k = 1,\ldots, n) \] gegeben) heißt von konstanter Dichte (k. D.) \(g\), wenn jeder Einheitswürfel \[ u_i \leqq \xi_i < u_i +1 \quad (u_i \;\text{beliebig reell}, \;i = 1, \ldots, n) \] genau \(g\) Gitterpunkte enthält. Für \(n = 2\) und \(n = 3\) wird gezeigt, daß sich die definierenden Linearformen eines solchen Gitters k. D. ganzzahlig unimodular in die Gestalt \[ \begin{gathered} {\begin{aligned} &\xi_{i_1} = \frac {z_1}{g_1}, \\ &\xi_{i_2} = c_{21}z_1 + \frac{z_2}{g_2}, \\ &\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ &\xi_{i_n} = c_{n_1}z_1 + \cdots + c_{n,n-1}z_{n-1} + \frac{z_n}{g_n}, \end{aligned}} \\ g_1, \ldots, g_n \;\text{ganz-rational}, \;g_1g_2\ldots g_n = g, \\ i_1, i_2, \ldots,i_n \;\text{eine bestimmte Permutation von} \;1, 2,\ldots, n, \end{gathered} \] transformieren lassen. Für ein \(n\)-dimensionales Gitter (\(n\) beliebig) wird der Satz auf den für \((n-1)\)-dimensionale Gitter und den Nachweis zurückgeführt, daß der Einheitspunkt einer Koordinatenachse Gitterpunkt ist. Für \(g = 1\) liefert der Satz die \textit{Minkowski}sche Vermutung über die Grenzgitter, für \(g > 1\) die Zerlegbarkeit eines Gitters der k. D. \(g\) in \(g\) kongruente Gitter der k. D. 1, die durch Parallelverschiebung ineinander übergehen.