Sur les nouveaux résultats de la théorie analytique des nombres. (Q2606164)

Verf. gibt (ohne Beweise) neue Abschätzungen für die sogenannten \textit{Weyl}schen Summen. Diese Abschätzungen stellen außerordentlich bedeutende Fortschritte dar. Die Resultate sind folgende: 1. Es sei \(n\) ganz rational \(\geqq 20\); \(\nu = \dfrac 1n\); \(c\), \(c_1\), \dots seien nur von \(n\) abhängige Konstanten. Weiter seien \(A\), \(A_0\), \dots, \(A_n\) reelle Zahlen, \(P\) ganz rational \( > 0\) und \[ \begin{gathered} A = \frac aq + \lambda q^{-2+\nu^2}, \quad (a,q) = 1, \quad -c_1 \leqq \lambda \leqq c_1, \\ c_2P^{0,5} \leqq q \leqq c_3P^{n-\nu^2}, \\ f(x) = Ax^{n+1} + A_0x^n + \cdots + A_n, \quad S = \sum_{x=1}^P e^{2\pi i f(x)}. \end{gathered} \] Dann ist \[ |S| \leqq c_4 P^{1-\varrho}, \;\text{wo} \;\varrho = \frac{\nu^4}{D(\log n)^2} \] und \(D = 73\) für \(q > P\) und \(D = 54\) für \(q < P\). (Vgl. hierzu Verf., Rec. math. Moscou (2) 1 (1936), 8-20; JFM 62.0178.*-179.) 2. Es seien \(n\), \(\nu\), \(c\), \(c_1\), \dots, \(P\), \(a\), \(S\) wie oben und \(a_0\), \(a_1\), \dots, \(a_n\) reelle Zahlen, \[ \begin{gathered} a_0 = \frac aq + \lambda q^{-2+\nu^2}, \quad (a,q) =1, \quad -c_7 \leqq \lambda \leqq c_7, \\ c_8 P^{n-1-\nu^2} \leqq q \leqq c_9P^{n-0,5}, \\ f(x) = a_0x^n + \cdots + a_n. \end{gathered} \] Dann ist \[ |S| \leqq c_{10}P^{1-\varrho}, \quad \text{wo} \;\varrho = \frac{\nu^5}{130(\log n)^2}. \] 3. Die \textit{Hardy-Littlewood}sche Formel für die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl \(N\) als eine Summe von \(r\) \(n\)-ten Potenzen behält für \(n > 20\) ihre Gültigkeit, falls nur \[ r > 131 n^5 (\log n)^2 \] genommen wird. 4. Es sei \(n\) ganz rational \(\geqq 10\); \(\nu = \dfrac 1n\); \(A\), \(A_0\), \dots, \(A_n\) seien reelle Zahlen; \[ \begin{gathered} f(x) = Ax^{n+1} + A_0x^n + \cdots + A_n, \\ A = \frac aq + \frac{\theta}{q^2}, \quad (a,q) = 1, \quad q > 0, \quad |\theta| \leqq 1. \end{gathered} \] Dann gibt es eine nur von \(n\) abhängige Konstante \(c\) derart, daß für jedes reelle \(\beta\) die Ungleichung \[ |f(x) - u - \beta| < cq^{-\varrho}, \quad \varrho = \frac{\nu^2}{5\log 10n} \] wenigstens eine Lösung in ganz-rationalen \(x\), \(u\) hat. (III 6.)