Vollständig integrable Systeme totaler Diffe\-rentialgleichungen. (Q2606171)

Die Verf. beweisen folgenden Satz: \(\mathfrak D\), \(\mathfrak D'\) seien zwei offene Bereiche des \(R_n\) und \(R_m\), \(x\) ein Punkt von \(\mathfrak D\), \(\varPhi\) ein Punkt von \(\mathfrak D'\), ferner die Funktionen \(\varPsi_\alpha^i(x,\varPhi)\) einmal stetig differenzierbar und die Integrabilitätsbedingungen des Systems \[ d\varPhi^i={\sum\limits_{\alpha=1}^{n}}\varPsi_\alpha^i(x,\varPhi)\,dx_\alpha \qquad(i = 1, 2,\dots, n) \] identisch erfüllt. Dann lassen sich für zwei Punkte \(p\) und \(q\) von \(\mathfrak D\) und \(\mathfrak D'\) abgeschlossene Bereiche \(\varDelta\) und \(\varDelta'\) bestimmen, wobei \(p\) in \(\varDelta\) und \(\varDelta\) in \(\mathfrak D\) und ebenso \(q\) in \(\varDelta'\) und \(\varDelta'\) in \(\mathfrak D'\) liegt, mit folgenden Eigenschaften: Nach Wahl von \(\varPhi_0\) in \(\varDelta'\) gibt es stets eine und nur eine für jeden Punkt \(x\) von \(\varDelta\) definierte Lösung des Systems \(\varPhi^i=\varPhi^i(x,\varPhi_0)\), die für einen in \(\varDelta\) festgewählten Punkt \(x_0\) die Werte \(\varPhi_0^i\) annimmt. Es existieren und sind stetig die Ableitungen \[ \dfrac{\partial \varPhi^i}{\partial x_\alpha},\quad \dfrac{\partial^2\varPhi^i}{\partial x_\alpha\partial x_\beta}= \dfrac{\partial^2\varPhi^i}{\partial x_\beta\partial x_\alpha},\quad \dfrac{\partial^2\varPhi^i}{\partial x_\alpha\partial \varPhi_0^k}= \dfrac{\partial^2\varPhi^i}{\partial \varPhi_0^k\partial x_\alpha}. \] Der Beweis erfolgt dadurch, daß das System durch Integration längs einer bestimmten Kurve auf ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen zurückgeführt wird.