Eine Ungleichung für harmonische Funktionen. (Q2606216)

Es sei \(f (t)\) (\(-\pi\leqq t\leqq\pi\)) eine reell- oder komplexwertige Funktion von be\-schränkter Schwankung und \(u (x, y)\) die zugehörige reell- oder komplexwertige har\-monische Funktion im Inneren des Einheitskreises, wenn \(t\) den Polarwinkel bedeutet. Dann wird gezeigt, daß die Totalschwankung der Funktion \(u (x, 0)\) (\(-1\leqq x\leqq1\)) nicht größer ist als die halbe Totalschwankung von \(f (t)\). Durch lineare Abbildung des Einheitskreises auf die obere Halbebene kann man dies so ausdrücken: \(f (t)\) (\(-\infty< t<\infty\)) sei definiert wie früher und \(u (x, y)\) die zugehörige, in der oberen Halbebene definierte harmonische Funktion; dann ist die Totalschwankung der Funktion \(u(x_0, y)\) auf der Halbgeraden \(y\geqq0\) nicht größer als die Totalschwankung von \(u (x, 0)\). Da diese Halb\-gerade Winkelhalbierende des gestreckten Winkels mit dem Scheitel \((x_0,0)\) ist, so folgt durch konforme Abbildung ein entsprechender Satz für beliebige Winkel. Daraus ergibt sich, daß die Totalschwankung auf den vom Scheitel ausgehenden Halbgeraden eine konvexe Funktion der Richtung ist. Der Satz in seiner ersten Form enthält als Spezialfälle zwei Ungleichungen aus der Theorie der konformen Abbildung. Bildet nämlich \(w = F (z)\) einen Kreis der \(z\)-Ebene auf ein einfach oder mehrfach überdecktes Gebiet der \(w\)-Ebene ab, das durch eine geschlossene rektifizierbare Kurve begrenzt wird, so bleibt die Länge jedes Durchmesserbildes unterhalb der Länge der Randkurve des Bildes. Entsprechendes gilt, wenn man die Länge der betreffenden Kurven durch ihre Totaldrehung ersetzt. Diese muß für den Fall, daß die Tangentenrichtung der Randkurve sich nicht stetig ändert, in passender Weise durch Approximation von innen her definiert werden.