On the non-vanishing of the Jacobian in certain one-to-one mappings. (Q2606217)

Durch die harmonischen Funktionen \(u (x, y)\) und \(v (x, y)\) werde eine umkehrbar eindeutige Abbildung vermittelt, die den Nullpunkt fest läßt. Unter Benutzung der \textit{Fourier}entwicklung von \(u\) und \(v\) wird gezeigt, daß die Funktionaldeterminante \(\dfrac{\partial(u,v)}{\partial (x,y)}\) im Nullpunkt nicht verschwindet. Diese Aussage gilt auch dann noch, wenn \(u\) und \(v\) gekoppelt sind durch die Gleichungen \[ \halign{ \(#\)\hfil& \(\bigg[\bigg(\dfrac{\partial u}{\partial x}\bigg)^2+ \bigg(\dfrac{\partial u}{\partial y}\bigg)^2\bigg]+#\)\hfil& \(\bigg(\dfrac{\partial u}{\partial x}\dfrac{\partial v}{\partial x}+ \dfrac{\partial u}{\partial y}\dfrac{\partial v}{\partial y}\bigg)+#\)\hfil& \(\bigg[\bigg(\dfrac{\partial v}{\partial x}\bigg)^2+ \bigg(\dfrac{\partial v}{\partial y}\bigg)^2\bigg]+#\)\hfil& \(\dfrac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=0\)#\cr \varDelta u+a&b&c&d\cdot{}&,\cr \varDelta v+A&B&C&D&.\cr } \] \(a\), \(b\),\dots, \(A\), \(B\),\dots sind analytische Funktionen von \(u\) und \(v\), welche ihrerseits ana\-lytisch sein sollen. Für \(v\) führt man die neue Funktion \(V = v - F (u)\) (\(F(0) = 0\)) ein. Dies führt bei passender Bestimmung von \(F\) entweder unter direkter Benutzung des früheren Resultats oder doch durch ähnliche Schlußweise zu demselben Ergebnis.