Eine gemischte Randwertaufgabe bei der Wärmeleitung in der geradlinig begrenzten Halbebene. (Q2606232)

Es handelt sich um folgende Randwertaufgabe: Gesucht in der unendlichen Halbebene \(y\geqq0\) eine Lösung von \[ \dfrac{\partial \vartheta}{\partial t}=a^2\left( \dfrac{\partial^2\vartheta}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2\vartheta}{\partial y^2} \right) \] mit der Randbedingung: \[ \vartheta(x, y, 0)= f (x, y),\quad K (x, t) \vartheta(x, 0,t) + L(x, t) \dfrac{\partial \vartheta(x,0,t)}{\partial y}=F(x,t). \] Die Lösung wird durch den Ansatz \[ \begin{gathered} \vartheta=z+\frac1{2a^2\pi t}{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}} {\int\limits_{0}^{+\infty}}f(\xi,\eta) e^{-\frac{(\xi-x)^2+(\eta-y)^2}{4a^2t}}d\xi\,d\eta,\\ z=\frac1{2\pi}{\int\limits_{0}^{t}} \left(\dfrac{1}{t-\tau}+\frac y{2a^2(t-\tau)^2}\right)\,d\tau {\int\limits_{-\infty}^{+\infty}}\varphi(\xi,\tau) e^{-\frac{(\xi-x)^2+y^2}{4a^2(t-\tau)}}d\xi \end{gathered} \] zurückführt auf die Bestimmung der ``Belegung'' \(\varphi\) aus einer Integrodifferentialgleichung für \(\varphi(x, t)\), welche hinsichtlich \(t\) vom \textit{Volterra}- und hinsichtlich \(x\) vom \textit{Fredholm}typus ist. Nähere Voraussetzungen über \(f\), \(K\), \(L\), \(F\) werden nicht angegeben.