Die Lichtensteinsche Methode für die Entwicklung der zweiten Variation, angewandt auf das Problem von Lagrange. (Q2606277)

In dieser Arbeit zeigt sich die volle Tragweite der \textit{Lichtenstein}schen Methode in der Variationsrechnung (für das einfachste Variationsproblem: Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, math.-phys. Kl. 1919, 161-192; F. d. M. 47, 475 (JFM 47.0475.*)-476) für allgemeine eindimensionale Probleme. In der Bezeichnungsweise von \textit{Carathéodory} (Die Theorie der zweiten Variation beim Problem von \textit{Lagrange}, S. B. math.-nat. Abt. Bayer. Akad. Wiss. München 1932, 99-114; ferner Comment. math. Helvetici 5 (1933), 1-19; F. d. M. 58; \(59_{\text I}\), 496) sei \[ 2H(t, x_i, y_i) = a_{ij}x_ix_j + 2b_{ij}x_iy_j + c_{ij}y_i y_j \] (über doppelt vorkommende Indices von 1 bis \(n\) summieren!) eine quadratische \textit{Hamilton}funktion; die quadratische Form \(c_{ij}y_iy_j\) sei positiv semidefinit vom Rang \(n - p\); dann gehört zu \(H\) als \textit{Lagrange}funktion der Integrand der zweiten Variation eines \textit{Lagrange}schen Variationsproblems mit \(p\) Bedingungsgleichungen. Die zugehörigen kanonischen Differentialgleichungen lauten \[ \begin{aligned} L_i (x, y) &= \dot x_i- H_{y_i} = \dot x_i - b_{ki}x_k - c_{ik}y_k = 0, \\ R_i (x, y) &= \dot y_i+ H_{x_i} = \dot y_i + a_{ik}x_k + b_{ik}y_k = 0, \end{aligned} \tag{1} \] und die erwähnte zweite Variation kann geschrieben werden: \[ J_{\text{II}}=\int\limits_{t^0}^{t^1} (c_{ij}y_iy_j - a_{ij}x_ix_j) dt \tag{2} \] mit den Nebenbedingungen \(L_i (x, y) = 0\). In dieser Arbeit, deren Resultate später auf das allgemeine selbstadjungierte Randwertproblem ausgedehnt werden sollen, wird außerdem vorausgesetzt, daß die Koordinaten \(x_i\) in \(\langle t^0, t^1\rangle\) stetig sind und in den Endpunkten verschwinden und die Impulse \(y_i\) abteilungsweise stetig sind \(\Bigl(\)``zulässige Funktionen \(\dbinom xy\) der Klasse \(D'\)''\(\Bigr)\). Nach dem Vorgehen von \textit{Lichtenstein} erweitert Verf. die Gleichungen (1) durch einen Parameter und sucht Lösungen der durch Hinzunahme der Randbedingungen entstehenden Eigenwertprobleme. Bei allen vorkommenden Eigenwertproblemen existieren für jeden Wert des Parameters \(q\) Lösungen \[ \binom0{y^{(1)}},\ldots,\binom 0{y^{(q)}}, \tag{3} \] wenn \(q\) die von \textit{Carathéodory} (s. o.) definierte \textit{Klasse} des zugrundegelegten Extremalenbogens ist. Zuerst wird das Eigenwertproblem \[ L_i (x, y) = 0,\quad R_i (x, y) +\lambda x_i = 0 \] betrachtet und nach Methoden von \textit{Bliss} (Trans. Amer. math. Soc. 28 (1926), 561-584; F. d. M. 52, 453 (JFM 52.0453.*)-454) der zugehörige \textit{erweiterte Greensche Tensor} konstruiert. Sodann wird \(R_i(x, y)\) durch \[ R_i^0(x, y)=\dot x_i + b_{ik}y_k \] ersetzt. Hier besitzt der \textit{Green}sche Tensor eine gewisse Zerlegungseigenschaft, die für einfache Fälle \textit{Trefftz} (Math. Ann. 87 (1922), 307-314; F. d. M. 48, 467 (JFM 48.0467.*)) bemerkt hat und die die Anwendung der \textit{Erhard Schmidt}schen Theorie der adjungierten Eigenfunktionenpaare eines unsymmetrischen Kernes ermöglicht. Man erhält unendlich viele positive Eigenwerte \(\lambda^{(\nu)}\), für die über (3) hinaus Lösungen existieren, die zugehörigen ``normalen'' Eigenfunktionen \(\dbinom{\omega^{(\nu)}}{\pi^{(\nu)}}\), und dazu den Satz, daß sich jede zulässige Funktion \(x_i\) der Klasse \(D'\) nach den \(\omega^{(\nu)}\) entwickeln läßt. Außerdem gelten gewisse Vollständigkeitsrelationen. Analog wie bei \textit{Lichtenstein} (Rend. Circ. mat. Palermo 38 (1914), 113-166; F. d. M. 45, 542 (JFM 45.0542.*)-543) wird nun das Eigenwertproblem \[ L_i(x, y) = 0,\quad R_i^0 (x, y) + \mu a_{ik}x_k = 0, \] bei dem der Eigenwertparameter nicht mehr mit definitem Koeffizienten eingeht, auf das zu einer vollstetigen quadratischen Form von unendlich vielen Veränderlichen gehörige unendliche lineare Gleichungssystem zurückgeführt. Man erhält unendlich viele Eigenwerte \(\mu^{(\alpha)}\) und zugehörige ``normale'' Eigenfunktionen \(\dbinom{\varphi^{(\alpha)}}{\chi^{(\alpha)}}\), und aus den zugehörigen Vollständigkeitsrelationen folgt wegen (2) \[ J_{\text{II}} \geqq \sum_\alpha |\mu^{(\alpha)}| \left(1-\frac 1{\mu^{(\alpha)}}\right) \left(\int\limits_{t^0}^{t^1} a_{ij}x_i\varphi_j^{(\alpha)}dt\right)^2, \tag{4} \] das Analogon zu \textit{Lichtenstein}s Fundamentalformel für die zweite Variation. Sie liefert das \textit{Eigenwertkriterium}: Notwendig und hinreichend für \(J_{\text{II}}\geqq 0\) ist \(\mu^{(1)}\geqq 1\), wo \(\mu^{(1)}\) den kleinsten positiven Eigenwert bezeichnet. Es wird gezeigt, daß diese Bedingung gleichwertig mit dem \textit{Mayer}schen Analogon der \textit{Jacobi}schen Bedingung ist. Bemerkenswert ist, daß die Methode im ``anomalen Fall'' trotz Existenz der Funktionen (3) in gleicher Weise zum Ziele führt wie im normalen Fall \(q = 0\). Wenn die erwähnte vollstetige quadratische Form \textit{abgeschlossen} ist -- und das ist insbesondere der Fall, wenn der zugrundegelegte Extremalenbögen ``identisch normal'' und det \((a_{ij})\neq 0\) ist --, dann steht in (4) immer das Gleichheitszeichen, und es läßt sich jede zulässige Funktion \(x_i\) der Klasse \(D'\) nach den Eigenfunktionen \(\varphi^{(\alpha)}\) entwickeln. (IV 10.)