Integralgeometrie. XI: Zur Variationsrechnung. (Q2606296)

\(F(x_1, x_2; x_1', x_2')\) sei positiv und positiv homogen erster Ordnung. Für eine zweiparametrige Gesamtheit von Extremalen des Variationsproblems \[ J=\int\limits_{t_0}^{t_1} F(x_1,x_2;x_1',x_2')\,dt \] kann man nach \textit{Poincaré} \[ \mathfrak g=\dot x_1\dot p_1+\dot x_2\dot p_2 \] als Extremalendichte einführen. Dabei bezeichnen die \(p_i\) die partiellen Ableitungen \(\dfrac{\partial F}{\partial x_i'}\). \(\mathfrak g\) ist ``wahlinvariant'', d. h. \(\mathfrak g\) ändert sich nicht, wenn jedes Element \((x, p)\) auf der durch das Element hindurchgehenden Extremalen verrückt wird. \(\delta x_i\) seien die Fortschreitungsrichtungen auf einer Kurve \(\mathfrak K\). Dann bezeichnet man zwei Extremalen \(\mathfrak E\) und \(\mathfrak E^*\) als Spiegelbilder voneinander, wenn \[ p_1\delta x_1+p_2\delta x_2 =p_1^*\delta x_1+p_2^*\delta x_2 \] gilt. Die Extremalendichte \(\mathfrak g\) ist ``invariant gegen diese Spiegelungen''. Das Hauptergebnis der Arbeit ist die Verallgemeinerung eines Satzes von \textit{Crofton} (vgl. hierzu \textit{Blaschke}, Vorlesungen über Integralgeometrie I, 1. Aufl. (1935; JFM 61.0761.*-762), S. 44, 45). Bezeichnet nämlich \(n\) die Anzahl der Schnittpunkte, die ein Extremalenbogen mit dem Kurvenbogen \(\mathfrak K\) gemein hat, so gilt unter geeigneten Regularitätsvoraussetzungen \[ \int\limits_{\mathfrak K} n\mathfrak g=2\int F\,dt, \] d. h. die Anzahl der \(\mathfrak K\) treffenden Extremalenbogen stimmt überein mit dem doppelten längs \(\mathfrak K\) erstreckten Grundintegral. Weiter wird eine Dichte für Linienelemente eingeführt und damit die Anzahl der Linienelemente innerhalb eines Gebiets abgezählt.