Adjungierte Extremalflächen im vierstufigen Raume. (Q2606297)

\textit{Haar} (Math. Ann. 100 (1928), 481-502; F. d. M. 54, 529 (JFM 54.0529.*); vgl. auch \textit{Berwald}, Mh. Math. Phys. 38 (1931), 89-108; JFM 57.0598.*-599) hat den Begriff zweier adjungierten Minimalflächen des dreidimensionalen euklidischen Raumes \(R_3\) auf die Extremalen eines beliebigen über ein Flächenstück im \(R_3\) erstreckten Doppelintegrals übertragen, welches die Gruppe der Schiebungen gestattet. Er stellt einem solchen Variationsproblem \(\mathfrak v\) ein adjungiertes \(\overline{\mathfrak v}\) zur Seite, das im Falle des Variationsproblems der euklidischen Oberfläche mit dem ursprünglichen zusammenfällt. Jeder Extremalen \(\mathfrak e\) von \(\mathfrak v\) entspricht dann (bis auf Parallelverschiebungen) eine Extremale \(\overline{\mathfrak e}\) von \(\overline{\mathfrak v}\), die zu \(\mathfrak e\) adjungierte Fläche. Verf. entwickelt die entsprechende Theorie für das Variationsproblem \(\mathfrak B\) eines Doppelintegrals über ein zweidimensionales Flächenstück im vierdimensionalen euklidischen Raum \(R_4\). Wenn das Integral die Gruppe der Schiebungen zuläßt, so kann jeder Extremalen \(\mathfrak E\) von \(\mathfrak B\) in invarianter Weise eine ``adjungierte'' Fläche \(\overline{\mathfrak E}\) zugeordnet werden, die bis auf Parallelverschiebungen eindeutig bestimmt ist. \(\mathfrak E\) und \(\overline{\mathfrak E}\) sind punktweise so aufeinander bezogen, daß entsprechende Linienelemente aufeinander senkrecht stehen. \(\overline{\mathfrak E}\) erweist sich als Extremale eines zweiten, zu \(\mathfrak B\) ``adjungierten'' Variationsproblems \(\overline{\mathfrak B}\). Das zu \(\overline{\mathfrak B}\) adjungierte Variationsproblem ist wieder \(\mathfrak B\). Verf. stellt ferner im regulären Falle auf \(\mathfrak E\) eine quadratische Maßbestimmung \(\mathfrak M\) auf, die mit der auf \(\overline{\mathfrak E}\) entsprechend gebildeten in zugeordneten Punkten übereinstimmt, so daß die punktweise Beziehung zwischen \(\mathfrak E\) und \(\overline{\mathfrak E}\) bei \(\mathfrak M\) isometrisch ist. Der zu \(\mathfrak M\) gehörende Flächeninhalt eines Stückes \(\mathfrak E^*\) von \(\mathfrak E\) ist gleich dem über \(\mathfrak E^*\) erstreckten Grundintegral des Variationsproblems \(\mathfrak B\). Entsprechendes gilt für \(\overline{\mathfrak E}\) und \(\overline{\mathfrak B}\). Bei dem Variationsproblem \(\mathfrak B\) der zweidimensionalen euklidischen Oberfläche im \(R_4\) ist \(\overline{\mathfrak B}\) mit \(\mathfrak B\) identisch, \(\mathfrak E\) und \(\overline{\mathfrak E}\) sind zwei adjungierte Minimalflächen, und \(\mathfrak M\) hat das quadrierte Bogenelement von \(\mathfrak E\) zur Grundform.