Su una legge dei grandi numeri generalizzata. (Q2606334)

Ist \(x\) eine nur positive Werte annehmende stochastische Variable mit dem Verteilungsgesetz \(F(x)\), \(x_1\), \(x_2\), \dots, \(x_n\), \dots eine Folge beobachteter Werte, so gilt mit \(s_n = x_1+ \cdots + x_n\) \[ \lim_{n\to \infty} W\{\left|\frac{s_n}n - \mathfrak E(x)\right| > \varepsilon \} = 0, \] d. h: Die Wahrscheinlichkeit der Ungleichung \(\left|\dfrac{s_n}n \mathfrak E(x)\right| > \varepsilon\) ist 0. Ist nun \(\mathfrak E(x)\) selbst unendlich, so kann man nach der Existenz einer mit \(n\) unbeschränkt wachsenden Funktion \(f(n)\) fragen, derart daß \[ \lim_{n\to \infty} W\{\left|\frac{s_n}{nf(n)} - 1\right| > \varepsilon\} = 0 \] gilt. Notwendig und hinreichend für die Existenz einer solchen Funktion \(f(n)\) ist, daß \[ \lim_{x\to \infty} \frac {1-F(x)}{\dfrac 1x \int\limits_0^x (1-F(\alpha))\,d\alpha}= 0 \] ausfällt. -- Die Frage, ob es zu jedem \(\varepsilon\) ein \(n_0(\varepsilon)\) gibt, derart daß für jedes \(n \geqq n_0(\varepsilon)\) \[ W\left\{\left|\frac{s_n}{nf(n)} - 1\right| < \varepsilon \right\} \geqq 1-\varepsilon \] gilt, muß verneint werden.