Sur les lois stables. (Q2606340)

\textit{P. Lévy} führte den Begriff des stabilen Wahrscheinlichkeitsgesetzes (loi stable) ein und zeigte, daß für ein solches die charakteristische Funktion \(\varphi(t)\) folgendes Aussehen haben muß: \[ \log \varphi(t) = -c\left (1-i\beta \frac t{|t|} \operatorname{tg} \frac{\pi}2 \alpha\right)|t|^\alpha \quad (c>0, \;0 < \alpha \leqq 2, \;|\beta| \leqq 1). \] (\textit{P. Lévy}, Calcul des probabilités (1925; F. d. M. 51, 380 (JFM 51.0380.*)), p. 252-263). Allerdings wurde dort die Unmöglichkeit von \(|\beta| > 1\) nicht streng bewiesen. Dieser Beweis wird in vorliegender Note nachgetragen, und zwar im Falle \(0 < \alpha < 1\) von \textit{P. Lévy}, im Falle \(1 < \alpha < 2\) von \textit{A. Khintchine}. Die Fälle \(\alpha = 1\) und \(\alpha = 2\) sind trivial.