On fourfold sampling with and without replacement. (Q2606352)

Aus den beiden unabhängigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen \(\varPhi(x)\) und \(\overline\varPhi(y)\), deren zugehörige orthogonale Polynome mit \(H_k(x)\) und \(\overline H_k(y)\) für \(k = 0, 1, 2, \ldots\) bezeichnet seien, läßt sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zweier abhängiger Variablen nach der Formel \[ W(x,y;r) = \varPhi(x)\cdot \overline \varPhi(y)\left(1 + rH_1(x) \overline H_1(y) + \frac {r^2}{2!} H_2(x)\overline H_2(y)+ \cdots \right) \] konstruieren. Die stochastische Abhängigkeit der beiden Variablen ist hier nur durch den Korrelationsparameter \(r\) charakterisiert. Für die \textit{Normal}verteilung mit den \textit{Hermite}schen Polynomen und die \textit{Poisson}verteilung mit den \textit{Charlier}schen Polynomen wurde diese Konstruktion schon früher behandelt. Verf. wendet nun diese Formel auf die zu einer Doppelalternative gehörigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (\textit{Bernoulli}verteilung und hypergeometrische Verteilung) an und stellt fest, daß in beiden Fällen die Regressionsbeziehungen linear sind. Daneben diskutiert er die zu diesen Verteilungen gehörigen orthogonalen Polynome und weist auf Analogien zu den \textit{Hermite}schen und \textit{Charlier}schen Polynomen hin.