Zur Theorie der stochastischen Prozesse. (Existenzund Eindeutigkeitssätze.) (Q2606374)

Die Übergangswahrscheinlichkeit \(F(t,x;\tau,\xi)\) für den Übergang aus einem Zustand \(x\) zur Zeit \(t\) in einen Zustand \(\leqq \xi\) zur Zeit \(\tau > t\) genügt nach \textit{Kolmogoroff} -- falls es sich um stetige Zustandsänderung handelt -- als Funktion von \(t\) und \(x\) einer parabolischen Differentialgleichung. Ihre Ableitung \(F_\xi\) genügt als Funktion von \(\tau\) und \(\xi\) der zu dieser Gleichung adjungierten. Werden sprunghafte Veränderungen zugelassen, so kommt man auf eine partielle Integrodifferentialgleichung. Existenz- und Eindeutigkeitssätze fehlten und werden hier ausführlich gegeben: Es zeigt sich, daß in beiden Fällen unter geeigneten Bedingungen genau eine Lösung für die Anfangswertaufgabe existiert. Erfolgt die Zustandsänderung nur sprunghaft, so braucht man für \(F\) hinsichtlich \(x\) und \(\xi\) keine Stetigkeitsvoraussetzungen. Die Lösungen werden für alle Fälle durch im allgemeinen gut konvergente Reihen angegeben. (IV 9, 14.)