Recherches sur les chaînes de Markoff. (Q2606375)

Breite, lehrbuchmäßige Darstellung der Theorie von Matrizen mit nichtnegativen Elementen und der Theorie der \textit{Markoff}schen Ketten. Neue Resultate werden natürlich nicht immer erzielt, jedoch werden viele Beweise in vereinfachter Form erbracht. \textit{Kap. I} bringt die notwendigen Sätze über Matrizen mit nichtnegativen Elementen und stochastische Matrizen, für die noch die Zusatzbedingungen gelten, daß die Summe der Elemente in jeder Zeile 1 ist und daß keine Reihe nur aus Nullen besteht. \textit{Kap. II} behandelt die Theorie der \textit{Markoff}schen Ketten, wenn die Matrix der \(n^2\) Übergangswahrscheinlichkeiten im obigen Sinn stochastisch ist. Es wird die Wahrscheinlichkeit \(p_{k|\beta}\) dafür bestimmt, beim \(k\)-ten Versuch das Element \(\beta\) zu erhalten. Diskussion je nach der Zerlegbarkeit der Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten. Zahlreiche numerische Beispiele. \textit{Kap. III} beschäftigt sich mit folgendem Momentenproblem: Bedeutet \(u_n\) den Wert der stochastischen Variablen, der beim \(n\)-ten Versuch erscheint, so werden Formeln aufgestellt für die Momente \[ M_{m_1m_2\ldots m_r}^{(k_1k_2\ldots k_r)} = \mathfrak E[(u_{k_1} a)^{m_1}(u_{k_1+k_2} - a)^{m_2}\ldots (u_{k_1+k_2 + \cdots+k_r} - a)^{m_r}] \] mit \[ a = \lim_{k\to \infty} \frac 1k \sum_{\varkappa=0}^{k-1} \mathfrak E(u_\varkappa), \] ebenso bei festem \(s\) für die Momente \[ \begin{gathered} M_{m_1m_2 \ldots m_r} = \sum_{k_1, k_2, \ldots, k_r} M_{m_1m_2 \ldots m_r}^{(k_1 k_2 \ldots k_r)} \\ (k_1 \geqq 0; \;k_2 \geqq 1, \ldots, k_r \geqq 1; \;k_1+k_2 + \cdots + k_r\leqq s-1), \end{gathered} \] ferner für die Momente \[ \mathfrak E\left(\sum_{h=0}^{s-1} (u_h-a)\right)^m. \] Schließlich wird folgender Grenzwertsatz bewiesen: Ist die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten unzerlegbar und primitiv, so strebt die Wahrscheinlichkeit der Ungleichung \[ \alpha < \frac{u_0 + u_1 + \cdots + u_{s-1} - sa}{\sqrt {M_2}} < \beta \] mit \(s\to \infty\) gleichmäßig gegen \[ \frac 1{\sqrt {2\pi}} \int\limits_\alpha^\beta e^{-\tfrac {t^2}2}\,dt, \] vorausgesetzt, daß \(M_2 \neq 0\) ist.