La loi forte des grands nombres pour les variables aléatoires enchaînées. (Q2606377)

\(u_1\), \(u_2\), \dots, \(u_n\), \dots sei eine Folge von verketteten Zufallsveränderlichen. Der bedingte (bei bekannten \(u_1\), \(u_2\), \dots, \(u_{n-1}\) genommene) Erwartungswert \(\mathfrak E_{n-1} \{u_n\}\) sei gleich 0. Dann gilt für die Summe \[ S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n \] unter gewissen Einschränkungen hinsichtlich der Größe der möglichen Werte von \(u_n\) und des Wachstums von \[ \sigma_n^2 = \mu_1^2 + \mu_2^2 + \cdots + \mu_n^2, \] wobei \(\mu_n^2 = \mathfrak E_{n-1}\{u_n^2\}\) ist, das \textit{Gesetz des iterierten Logarithmus}. Zum Beweise werden an Stelle von \(S_n\) und \(n\) die stetigen Veränderlichen \[ X(t) = S_n + k u_{n+1} \quad (0 \leqq k < 1) \] und \[ t = \sigma_n^2 + k^2\mu_{n+1}^2 \] verwendet. Für eine Folge von Alternativen (\(u_n = 0\) oder \(= 1\)) folgt dann das \textit{starke Gesetz der großen Zahlen}.