Sufficient statistics and intrinsic accuracy. (Q2606400)

Verf. behandelt die Aufgabe, aus einer Stichprobe von \(n\) Werten \(x_i\) den Parameter \(\vartheta\) einer Verteilung \(f(x,\vartheta)\) in dem Intervall \((a,b)\) zu schätzen. Es sei \[ J = E\left\{ \frac{\partial}{\partial \vartheta}\log f\right\}, \quad I = E\left\{\left(\frac{\partial}{\partial \vartheta}\log f\right)^2\right\}. \] \textit{R. A. Fisher} hat \(I\) ``intrinsic accuracy'' der Verteilung in bezug auf \(\vartheta\) genannt, oder auch ``amount of information'' (bzgl. \(\vartheta\)) bei einer einzelnen Beobachtung. Verf. beweist Sätze von \textit{Fisher}, nämlich daß eine Statistik \(T\), die zur Schätzung von \(\vartheta\) aus den \(x_i\) gebraucht wird, keine größere intrinsic accuracy als \(nI\) haben kann und daß eine Statistik von größter intrinsic accuracy \(nI\) hinreichend sein muß (d. h. die relative Wahrscheinlichkeit jeder anderen Statistik bezüglich dieser Statistik muß von \(\vartheta\) unabhängig sein), und umgekehrt: Nur für diese Statistiken behält er die notwendige Bedingung, daß das Intervall unabhängig von \(\vartheta\) sein soll, bei. Verf. betrachtet dann Verteilungen, bei denen das Intervall von \(\vartheta\) abhängt, und zeigt an Beispielen, daß Statistiken der intrinsic accuracy \(n^2I\), \(nI + n(n-1)J\) und größer auftreten können. (Bemerkung: Das war \textit{Fisher} bekannt und ist von ihm benutzt worden; vgl. seine Arbeit Phil. Trans. R. Soc. London A 222 (1922), 309-368 (F. d. M. 48, 1280 (JFM 48.1280.*), wo Band- und Seitenzahlen falsch angegeben sind), insbes. S. 349-350.) Zum Schluß wird der Satz von der größten intrinsic accuracy auf eine Menge von \(r\) unabhängigen Statistiken \(T_j\) für \(\vartheta\) erweitert.