Zur Theorie der Interpolation. I, II. (Q2606486)

I. Für das Restglied einer Interpolationsformel mit den Interpolationsstellen \(z_1, \, z_2, \ldots \!, z_n\) leitet Verf. die Formel \[ R_n \, (z)=\int\limits^{1} K_r \, (z, \, t) \, f^{(r)} \, (t) \, dt \] ab, in welcher der Kern, der nur von \(r\), das nicht gleich \(n\) zu sein braucht, und von den Interpolationsstellen, nicht aber von \(f \, (t)\) abhängt, die Form \[ K_r \, (z, \, t)=(-1)^{\left[ \frac{r}{2} \right]} P_r \, (z-t) + \frac{z^r}{r!} - \sum_{i=1}^{n} L_i \, (z) \left\{ (-1)^{\left[ \frac{r}{2} \right]} P_r \, (z_i-t) + \frac{z_i^r}{r!} \right\} \] hat. Hierin ist \[ P_r \, (z)=(-1)^{\left[ \frac{r}{2} + 1\right]} \frac{B_r \, (z-[z])}{r!}, \] wo \(B_r \, (z)\) das \textit{Bernoulli}sche Polynom \(r\)-ten Grades ist und wo mit \[ L_i \, (z)=\frac{(z-z_1) \cdots (z-z_{i-1}) \, (z-z_{i+1}) \cdots (z-z_n)} {(z_i-z_1) \cdots (z_i-z_{i-1}) \, (z_i-z_{i+1}) \cdots (z_i-z_n)} \] das \textit{Lagrange}sche Polynom bezeichnet wird. Im Falle \(r = n\) nimmt \(K_n \, (z, \, t)\) eine besonders einfache Form an, für die eine einfache Ableitung gegeben wird. Aus den allgemeinen Interpolationsformeln erhält man durch Integration über ein festes Intervall Mittelwertformeln für die numerische Integration, in deren Restglied jetzt eine Ableitung vorgegebener Ordnung erscheint, und zwar nimmt das Restglied die von \textit{Wirtinger} (Acta math., Uppsala, 26 (1902), 255-272; F.~d.~M. 33, 454-457) angegebene Form an. II. Verf. zeigt, daß man zu der in I aufgestellten Form des Restgliedes auch unmittelbar von der \textit{Euler}schen Summenformel gelangt. Ferner hatte Verf. dort bewiesen, daß das Restglied \(R_n \, (z)\) für \(r = n\) diejenige Lösung der Gleichung \[ y^{(n)}-f^{(n)} \, (z)=0 \] ist, die den \(n\) Randbedingungen \(y \, (z_r)=0\) für \(r = 1, \, 2, \ldots \!, n\) genügt, eine Lösung, die durch die \textit{Green}sche Funktion in der Form \[ y \, (z)=-\int\limits_{z_1}^{z_n} G \, (z, \, t) \, f^{(n)} \, (t) \, dt \] darstellbar ist, wo \[ G \, (z, \, t)=-\frac{1}{2} \, \frac{|\, z-t \,|}{z-t} \, \frac{(z-t)^{n-1}}{(n-1)!} + F_1 \, (t) \, z^{n-1} + F_2 \, (t) \, z^{n-2} + \cdots + F_n \, (t) \] ist und die \(F_m \, (t)\) aus den Gleichungen \[ \frac{1}{2} \, \frac{|\, z_r-t \,|}{z_r-t} \, \frac{(z_r-t)^{n-1}}{(n-1)!}= F_1 \, (t) \, z_r^{n-1} + F_2 \, (t) \, z_r^{n-2} + \cdots + F_n \, (t) \] (\(r = 1, \, 2, \ldots \!, n\)) berechnet werden. Hier wird \(G \, (z, \, t)\) weiter ausgerechnet und gezeigt, daß man daraus durch Teilintegration zu dem in der ersten Arbeit gegebenen Ausdruck für \(K_r \, (z, \, t)\) für \(r \leqq n\) gelangt. Ausführlich gibt Verf. sodann eine allgemeine Form des Restgliedes von Quadraturformeln, in dem eine vorgeschriebene Ableitung vorkommt.