Über das Quadratwurzelziehen mit der Rechenmaschine. (Q2606498)

Durch Anwendung des \textit{Newton}schen Näherungsverfahrens auf die Gleichung \(x^2-a=0\) ergibt sich folgendes Näherungsverfahren: Ist \(a > 1\) und \(b\) ein möglichst einfacher Näherungsbruch für \(\sqrt{a}\), so daß \[ b-\sqrt{a}=\varepsilon \quad \text{mit} \quad |\, \varepsilon \,|<\tfrac{1}{2}, \;\, b \geqq 1 \] ist, so ergibt sich durch sukzessives Quadrieren dieser Gleichung \[ \begin{aligned} (b^2+a)-2b \, \sqrt{a}= & b_2-c_2 \, \sqrt{a}=\varepsilon^2 \\ & \hdotsfor 1 \\ & b_n-c_n \, \sqrt{a}=\varepsilon^n. \end{aligned} \] Daraus ergibt sich für \(\sqrt{a}\) der Näherungswert \(\sqrt{a} \approx b_n/c_n\), der mittels \(\varepsilon^n/c_n\) noch verbessert werden kann.