Zum Newtonschen Näherungsverfahren. (Q2606501)

Beim \textit{Newton}schen Näherungsverfahren sind bekanntlich zur Berechnung eines Wurzelwertes mit einer vorgeschriebenen Genauigkeit um so weniger Schritte notwendig, je geringer die Krümmung der Kurve zwischen Näherungswert und Wurzelwert ist. Man wird also die Konvergenz beschleunigen können, wenn man sich auf der Abszissenachse statt der gleichmäßigen Skala eine Funktionsskala \(z=\varphi \, (x)\) aufgetragen denkt, die das Kurvenstück in passender Weise streckt. Verf. untersucht die Bedingungen, die für die Anwendbarkeit eines solchen Verfahrens erfüllt sein müssen. Es wird gezeigt: Geht man von zu großen Näherungswerten aus, so kann man die Konvergenz beschleunigen durch Transformation mit Funktionen, deren zweite Ableitung in dem in Betracht kommenden Gebiet positiv bzw. negativ ist, je nachdem ob \(x\) und \(\varphi' \, (x)\) gleiches oder entgegengesetztes Vorzeichen haben; geht man von zu kleinen Näherungswerten aus, so muß die zweite Ableitung der transformierenden Funktion das entgegengesetzte Vorzeichen wie oben haben. Außerdem müssen an der Näherungsstelle die zweite Ableitung der ursprünglichen und der transformierten Funktion das gleiche Vorzeichen wie die Funktion selbst haben. Besonders betrachtet werden der rechnerisch bequemste Fall \(z=x^r\), ferner \(z=e^x\) und \(z=\log \, x\).