Über das Differenzenverfahren bei Anfangswerten partieller Differentialgleichungen. (Q2606534)

Das Differenzenverfahren in der üblichen Form kann bei Anwendung auf Anfangswertprobleme partieller Differentialgleichungen, wenn darin Ableitungen höherer Ordnung auftreten, infolge ungünstiger Fehlerfortpflanzung unbrauchbar werden. Diese Schwierigkeit bleibt auch dann bestehen, wenn man die Differenzenquotienten einzeln durch besser annähernde finite Ausdrücke ersetzt. Um das zu vermeiden, schlägt Verf. vor: (1) Man ersetze die Differentialgleichung, die etwa die Form \[ L(f)=\sum_{\alpha+\beta \leqq m} A_{\alpha, \beta}(x, \, y) \, \frac{\partial^{\alpha+\beta} f}{\partial x^{\alpha} \, \partial y^{\beta}}= t(x, \, y) \] haben möge, durch einen Ausdruck \[ \sum_{i, \, k} C_{i, \, k} \, F_{i, \, k} = t_{i_0, \, k_0}, \] entwickle \[ \sum_{i, \, k} C_{i, \, k} \, f_{i, \, k} \] (\(f_{i, \, k}\) Werte von \(f\) in Gitterpunkten, \(F_{i, \, k}\) Näherungswerte davon) nach \textit{Taylor} um einen Punkt \(i_0\), \(k_0\) und bestimme die \(C_{i, \, k}\) so, daß dieser Ausdruck mit \(L(f_{i_0, \, k_0})\) bis auf Glieder möglichst hoher Ordnung übereinstimmt. Dabei lege man den Punkt \(i_0\), \(k_0\) nicht, wie es gewöhnlich geschieht, in die Mitte des ``Sternes'' der Funktionswerte, sondern verlagere ihn von der Mitte nach der Fortpflanzungsstelle zu. Der entscheidende Einfluß einer solchen Verlagerung wird an einem Beispiel gezeigt. (2) Man nehme über die zur ersten Annäherung des Ausdruckes \(L(f_{i_0, \, k_0})\) unbedingt nötigen Funktionswerte hinaus noch weitere hinzu. Dadurch kann man die Annäherung weiter treiben und wesentlich günstigere Koeffizienten für die in der Gleichung auftretenden Funktionswerte erhalten. Verf. skizziert eine Fehlerabschätzung. Ferner gibt er für einige Differentialgleichungen solche finiten Ausdrücke höherer Ordnung und zeigt an dem Beispiel des an beiden Seiten eingespannten, transversal schwingenden Balkens bei vorgeschriebenem Anfangsausschlag -- ein Fall, in dem das gewöhnliche Verfahren divergiert -- wie auf die hier vorgeschlagene Art verhältnismäßig gute Konvergenz erzielt werden kann. (VI 4 A.)