Kommutative Fundamentalgruppen. (Q2606577)

Verf. zeigt: Die einzigen kommutativen Gruppen, die als Fundamentalgruppen geschlossener dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten auftreten können, sind zyklische Gruppen und freie abelsche Gruppen mit drei Erzeugenden. Zunächst kann man die Fundamentalgruppe jedenfalls durch \(\alpha\) Erzeugende mit \(\alpha\) definierenden Relationen bestimmen (Normalform der Mannigfaltigkeit mit je einer 3- und 0-dimensionalen Zelle und je \(\alpha\) 1- und 2-dimensionalen Zellen). Geht man von Gruppen mit den Erzeugenden \(S_1,\ldots \!,S_{\alpha}\) und Relationen \(R_1,\ldots \!,R_{\alpha}\) aus, derart daß beim Übergang zur Faktorgruppe nach der Kommutatorgruppe die Relationen die Elementarteilernormalform annehmen: \(R_i\) steht über \(S_i^{\varepsilon_i}\) für \(i = 1,\, 2,\ldots \!, \sigma_1\); \(R_{\sigma_1+j}\) liegt in der Kommutatorgruppe für \(j = 1,\, 2,\ldots \!, \sigma_2\); \(R_{\sigma_1+\sigma_2+k}\) steht über \(S_{\sigma_1+\sigma_2+k}\) für \(k= 1,\, 2,\ldots \!, \sigma_3\) \((\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3 = \alpha)\), so zeigt sich: Selbst wenn man noch die Relationen hinzunimmt, die besagen, daß die Kommutatoren von je zwei Erzeugenden mit jeder Erzeugenden vertauschbar sein sollen, so wird eine solche Gruppe nur in folgenden Fällen kommutativ: (1) \(\alpha=1\), endliche oder unendliche zyklische Gruppe; (2) \(\alpha=2\), \(\sigma_2 \geqq 1\), Gruppe von zwei Erzeugenden mit der Relation \(S_1\, S_2 \, S_1^{-1}\, S_2^{-1} = 1\), d. h. direktes Produkt zweier zyklischer Gruppen, von denen wenigstens eine unendlich ist; (3) \(\alpha=3\), \(\sigma_2=3\), freie abelsche Gruppe mit drei Erzeugenden. Für (1) und (3) gibt es Beispiele. (2) läßt sich in der Tat noch ausschließen. Das folgt aus dem Dualitätssatz für Homotopiekettenringe, wenn man den Gruppenring der Mannigfaltigkeit homomorph auf geeignete Integritätsbereiche abbildet, in denen man die Nicht-Äquivalenz der Inzidenzmatrizen der 2- und 1-dimensionalen Zellen feststellen kann.