Multiplications on a complex. (Q2606615)

Die zuletzt besprochenen drei Arbeiten von \textit{Kolmogoroff} und \textit{Alexander} zitiere ich als K. I, K. II und A. Verf. übernimmt die Definition der \(o\)-Berandungen, von ihm ``duale'' Berandungen genannt, aus K. I. Zwischen den dualen Zyklen (also den \(o\)-Zyklen aus K. I) definiert er eine Multiplikation, die eine Modifikation der Multiplikation aus K. II und leichter als diese zu handhaben ist; die endgültige Produktbildung, die vom Verf. stammt und die eine feste Eckpunktanordnung benutzt, wurde von \textit{Alexander} übernommen und im obigen Referat über A. besprochen; übrigens ist in A. die Darstellung und Beweisanordnung zum Teil einfacher als in der vorliegenden Arbeit. -- Dann wird eine \textit{zweite Multiplikation} eingeführt; bei ihr wird ein \textit{gewöhnlicher} Zyklus der Dimension \(n\) mit einem \textit{dualen} Zyklus der Dimension \(p\) multipliziert (\(n\geqq p\)), und das Ergebnis ist ein \textit{gewöhnlicher} Zyklus der Dimension \(n-p\). Diese zweite Multiplikation, die auf einer Art ``innerer Produktbildung'' zwischen den Koeffizienten der beiden Faktoren beruht, steht mit der ersten in einem einfachen algebraischen Zusammenhang, auf den aber hier nicht eingegangen wird. -- Beide Multiplikationen werden insofern in allgemeinerer Weise entwickelt als diejenigen in K. II und in A., als den beiden Zyklen, die miteinander multipliziert werden, zwei verschiedene Koeffizientengruppen \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\) zugrundeliegen dürfen, zwischen denen eine \textit{Pontrjagin}sche Gruppenmultiplikation erklärt ist: jedem Paar \(a\in\mathfrak A\), \(b\in\mathfrak B\) ist als symbolisches ``Produkt'' \((a,b)\) ein Element einer dritten Gruppe \(\mathfrak C\) so zugeordnet, daß \((a, b)\) distributiv in beiden Faktoren ist (alle Gruppen sind abelsch und additiv aufzufassen). Schließlich werden mit Hilfe der beiden Produkte die Dualitäts- und SchnittEigenschaften der kombinatorischen Mannigfaltigkeiten hergeleitet; dabei ist es methodisch interessant, daß, im Gegensatz zu allen bisherigen Darstellungen, auch zu der in K. I und K. II, in einer festen Simplizialzerlegung der Mannigfaltigkeit gearbeitet und die zu ihr duale Zellenzerlegung nicht herangezogen wird. Verf. weist darauf hin, daß viele seiner Resultate unabhängig von \textit{Whitney} gefunden worden sind; man beachte daher die Arbeit ``On products on a complex'' von \textit{Whitney}, die gegenwärtig (Sommer 1937) bei den Ann. Math., Princeton, im Druck ist; sie dürfte die umfassendste und die vorläufig abschließende Darstellung der neuen Homologietheorie sein.