On a problem of Čech. (Q2606622)

Ein topologischer Raum \(S\) heißt im kleinen zusammenhängend, wenn er folgende Eigenschaft besitzt: Ist \(U\) eine offene Teilmenge von \(S\) und \(x\in U\), so gibt es eine offene zusammenhängende Menge \(V\) mit \(x\in V\subset U\). \textit{Čech} hat eine andere Definition aufgestellt: \(S\) heiße im kleinen zusammenhängend, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Ist \(U_1,U_2,\ldots, U_n\) ein endliches System von offenen Mengen, \(S = U_1+\cdots+ U_n\), so gibt es ein endliches System \(V_1,\ldots, V_m\) von zusammenhängenden Mengen, welche folgende Eigenschaften haben: jedes \(V_i\) ist Teilmenge eines \(U_k\), und es ist \[ S = V_1+ \cdots + V_m. \] Es werden nun folgende Sätze bewiesen: I. Ist \(S\) ein \textit{regulärer} topologischer Raum, so folgt aus dem Zusammenhang im kleinen im Sinne von \textit{E. Čech} derjenige im üblichen Sinne. II. Ist ein regulärer topologischer Raum im kleinen zusammenhängend im Sinne von \textit{Čech}, so ist er kompakt. III. Ist ein kompakter topologischer Raum lokal zusammenhängend im üblichen Sinne, so auch im Sinne von \textit{Čech}. IV. Ein topologischer Raum, der im Sinne von \textit{Čech} im kleinen zusammenhängend ist, braucht nicht bikompakt zu sein.