Applications topologiques des représentations sur une circonférence de cercle. (Q2606630)

Im Mittelpunkt dieser inhaltsreichen Abhandlung steht die Methode, einen gegebenen Raum $X$ mit Hilfe der Gesamtheit $S^X_1$ seiner stetigen Abbildungen in die Kreislinie $S_1= \mathop{\text{E}}\limits_{z=x+iy} [|z|= 1]$ topologisch zu untersuchen. Es wird gezeigt, wieweit sich die ``eindimensionalen Zusammenhangseigenschaften'' der allgemeinsten Räume durch diese Methode beherrschen lassen. Den Ausgangspunkt bildet der Satz, nach welchem eine Abbildung $f\in S^X_1$ dann und nur dann homotop 1 ist, wenn es eine stetige reelle Funktion $\varphi(x)$ gibt, für die $f(x)\equiv e^{i\varphi(x)}$ gilt. Durch Vermittlung dieser reellen Funktion wird eine rechnerische Behandlung von stetigen Abbildungen in $S_1$ erleichtert, die ihrerseits eine bequeme Basis zur Untersuchung von $X$ bildet. Zwei erste Paragraphen sind der Herleitung der grundlegenden Eigenschaften von stetigen Abbildungen in $S_1$ gewidmet. In \S\ 3 werden unikohärente Räume untersucht (ein zusammenhängender Raum $X$ heißt dabei \textit{unikohärent}, wenn der Durchschnitt je zweier zusammenhängender, abgeschlossener Mengen mit der Summe $X$ zusammenhängend ist); es finden sich dort neue, wesentlich einfachere Beweise einiger Sätze des Ref., wobei die Voraussetzungen wesentlich abgeschwächt sind. Der \S\ 4 ist den Kompakten gewidmet. Hier ist der Satz zu erwähnen, nach welchem der Zusammenhang des Raumes $S_1^X$ erhalten bleibt, wenn man $X$ einer stetigen Abbildung, die offene Mengen in offene überführt, unterwirft. Die Paragraphen 5 und 6 enthalten verschiedene Sätze über Zerschneidung der euklidischen zweidimensionalen Sphäre $S_2$. Es wird eine einfache Eigenschaft von stetigen Abbildungen von $X$ in $S_1$ festgestellt, die dem Zerschneiden von $S_2$ durch $X$ zwischen zwei gegebenen Punkten äquivalent ist. Das erlaubt, manche bekannte Sätze über Zerschneidung (z. B. einige Sätze von \textit{Kuratowski} und von \textit{Čech}) kurz und unter abgeschwächten Voraussetzungen zu beweisen und auch gewisse neue Sätze zu finden. Unter diesen ist der Satz zu erwähnen, nach welchem $X\subset S_2$ dann und nur dann $S_2$ zwischen den Punkten $a,b\in S_2$ zerschneidet, wenn sie sich in der Menge $S_2 - (a) - (b)$ in keine einpunktige Menge stetig überführen läßt. Der letzte Paragraph enthält einige Sätze über Zerschneidung von $S_2$ durch lokal zusammenhängende Mengen, darunter den Satz, daß für zusammenhängende und lokal zusammenhängende Menge $X\subset S_2$ das Nichtzerschneiden von $S_2$ mit der Unikohärenz von $X$ gleichbedeutend ist.