Transformations continues en circonférence et la topologie du plan. (Q2606631)

Den Inhalt der Arbeit bildet eine systematische Darstellung von ``eindimensionalen Zusammenhangseigenschaften'', die sich durch die einheitliche Methode, beliebige Punktmengen (nicht nur Kompakta) durch ihre stetigen Abbildungen in die Kreislinie \(S_1\) zu untersuchen, auszeichnet. In zwei ersten von den drei Teilen der Arbeit werden hauptsächlich die in einer früheren Abhandlung des Verf. (vorangehendes Referat) bewiesenen Resultate wiedergegeben. Von neuen Ergebnissen ist folgender Satz zu erwähnen: Ist \(X\) eine lokal zusammenhängende Teilmenge der Kugelfläche \(S_2\) und \(Y\) eine Konstituante von \(S_2 - X\), so gibt es für jeden Punkt \(p\in\overline Y-Y\) ein \(p\) enthaltendes mehrpunktiges Teilkontinuum von \(Y + (p)\) (d. h. p ist von \(Y\) aus erreichbar). Im Gegensatz zu dem qualitativen Charakter der beiden ersten Teile sind die Untersuchungen des dritten Teiles quantitativ. Im \S\ 1 werden die stetigen Abbildungen von \(X\) in \(S_1\) auf eine naheliegende Weise als eine abelsche Gruppe \(B_1 (X)\) behandelt, wobei homotope Abbildungen als identisch betrachtet werden. Mit \(b_1(X)\) wird die Maximalzahl unabhängiger Elemente von \(B_1(X)\) bezeichnet, mit \(b_0 (X)\) bzw. \(b_0'(X)\) die Anzahl der Komponenten bzw. Konstituanten von \(X\). -- Im \S\ 2 wird bewiesen, daß für jedes \(X\subset S_2\) die Ungleichung \(b_1(X)\geqq b_0'(S_2 - X) - 1\) gilt. Falls \(X\) abgeschlossen ist, gilt \(b_1(X) = b_0'(S_2 - X)-1\) (vgl. dazu \textit{H. Freudenthal}, Compositio math., Groningen, 2 (1935), 134-162 (F. d. M. \(61_{\text I}\), 615-618), insbes. S. 162). Dieselbe Gleichheit wird im \S\ 6 auch im Falle, wo \(X\) lokal zusammenhängend ist, bewiesen. -- Als Analogon zu der bekannten Homologieformel von \textit{Mayer-Vietoris-Čech} wird im \S\ 3 eine Formel bewiesen, die für zwei in ihrer Summe abgeschlossene Punktmengen \(X_1\) und \(X_2\), für welche \(b_1(X_1) + b_1(X_2) + b_0(X_1\cdot X_2) < \infty\) gilt, die Zahl \(b_1(X_1+ X_2)\) zu bestimmen erlaubt. -- Im \S\ 4 wird gezeigt, wie sich gewisse Sätze von \textit{Straszewicz, Kuratowski} und \textit{Janiszewski} über Zerschneidung der Ebene durch die Summe von zwei Kontinuen auf die vom Verf. entwickelte Theorie zurückführen lassen. -- Der \S\ 5 enthält eine innere Charakterisierung von gemeinsamen Grenzen von \(n\) Teilgebieten von \(S_2\). \S\ 6 handelt von lokal zusammenhängenden Mengen. -- Der \S\ 7 ist den lokalen Eigenschaften von Kompakten gewidmet. Mit Hilfe der stetigen Abbildungen in \(S_1\) wird dort jedem Punkt \(x\) eines Kompaktums \(X\) eine gewisse ganze Zahlt \(l_1(X, x)\) zugeordnet. Falls \(X\subset S_2\) ist, wird eine Beziehung (lokaler Dualitätssatz) zwischen \(l_1(X,x)\) und den Eigenschaften von \(S_2 - X\) im Punkt \(x\) bewiesen. Nach einer Bemerkung des Verf. ergibt sich daraus, daß für kompakte Teilmengen \(X\) von \(S_2\) die Zahl \(l_1(X, x)\) mit der eindimensionalen \textit{Betti}schen Zahl im Sinne von \textit{Alexandroff} (On local properties of closed sets, Ann. Math., Princeton, (2) 36 (1935), 1-35; F. d. M. \(61_{\text{II}}\)) übereinstimmt.