Sur les images biunivoques et continues dans un sens. (Q2606669)

Es seien \(A\) und \(B\) zwei beliebige Mengen eines metrischen Raumes. \(\gamma(A) < \gamma (B)\) soll bedeuten, daß \(A\) ein eineindeutiges und in einer Richtung stetiges Bild von \(B\) ist, aber nicht umgekehrt. Gilt auch das Umgekehrte, so wird geschrieben: \(\gamma (A) = \gamma (B)\), und \(A\), \(B\) werden als zwei Mengen von demselben Typus \(\gamma\) erklärt. Sind zwei Mengen homöomorph, so haben sie denselben Typus \(\gamma\), aber nicht notwendig umgekehrt. Es werden einige Sätze darüber angeführt, z. B: Unter den linearen und abzählbaren Mengen gibt es keine, deren Typus \(\gamma\) der kleinste wäre, oder: Es gibt eine transfinite Folge von linearen und abzählbaren Mengen von wachsenden (oder abnehmenden) \(\gamma\)-Typen, wobei die Folge den Ordnungstypus \(\varOmega\) hat. Unter den Sätzen über nichtabzählbare Mengen sei der folgende erwähnt: Es gibt \(2^{\aleph_0}\) verschiedene Typen \(\gamma\) B-meßbarer Mengen.