Neue Untersuchungen über das bizentrische Viereck. I, II. (Q2606771)

\textbf{I.} In einem Kreise mit dem Halbmesser \(\varrho\) sei ein Punkt \(P\) im Abstande \(p\) vom Mittelpunkt \(O\) gegeben. Legt man durch \(P\) zwei zueinander senkrechte Sehnen und durch deren Endpunkte die Tangenten, so ist das Tangentenviereck bizentrisch. In allen bizentrischen Vierecken, die man durch Drehung des Sehnenkreuzes um \(P\) erhält, ist das Produkt der Sinus zweier benachbarter Winkel konstant gleich \((\varrho^2 - p^2) : \varrho^2\) Ist \(d\) der Abstand der Mittelpunkte des Um- und Inkreises, so ergibt sich \[ r^2 - d^2 = \frac{2\varrho^4}{\varrho^2 - p^2}. \] Daraus wird ein Beweis für den \textit{Poncelet}schen Schließungssatz hergeleitet. Sind \(e\) und \(f\) die Diagonalen des bizentrischen Vierecks, so folgt \(ef = 4dp \cdot \dfrac{d+p}{d-p}\). \textbf{II.} Die Beziehungen zwischen \(r\), \(\varrho\), \(p\), \(d\), insbesondere die Hauptgleichung, werden auf kürzerem Wege am Deltoid festgestellt. Die Aufgabe, \(r\) und \(\varrho\) zu bestimmen, wenn \(d\) und \(p\) gegeben sind, wird gelöst. Mit Hilfe des Deltoids und der Grundgleichung wird aus \(r\) und \(\varrho\) Länge und Lage von \(d\) bestimmt. Endlich wird die vom Verf. teilweise schon 1892 gelöste Aufgabe erledigt, zu drei gegebenen Punkten \(A\), \(B\), \(C\) auf einem Kreise einen vierten Punkt \(D\) derart zu bestimmen, daß \(ABCD\) ein bizentrisches Viereck wird.