Généralités sur le tétraèdre. (Q2606780)

Verf. weist den gemeinsamen projektiven Ursprung mehrerer bekannter Beziehungen am Vierflach nach und gibt einige Erweiterungen. Sind \(A^\prime\), \(B^\prime\), \(C^\prime\), \(D^\prime\) die mit positiven Massen behafteten Ecken des Vierflachs \(ABCD\) und setzt man \[ \begin{matrix} \pm 2M_i = \varepsilon_A A^\prime + \varepsilon_B B^\prime + \varepsilon_A \varepsilon_B C^\prime + D^\prime \qquad (\varepsilon_A = \pm 1, \;\varepsilon_B = \pm 1, \;i = 0, 1, 2, 3), \\ \pm 2M_J = \varepsilon_A A^\prime + \varepsilon_B B^\prime \varepsilon_A \varepsilon_B C^\prime + D^\prime \qquad (J = A, B, C, D), \end{matrix} \] so bilden die Punkte \(J\) und \(M_i, J\) und \(M_J\), \(M_i\) und \(M_J\) drei Gruppen von je acht assoziierten, einem Büschel von Flächen zweiter Ordnung gemeinsamen Punkten. Die Vierflache \(J, \;M_i, \;M_J\) sind bezüglich einer und derselben Fläche zweiter Ordnung konjugiert, und ihre Ebenen bilden auch drei Gruppen von acht assoziierten Ebenen. Die quadratischen Beziehungen \(\Sigma M_i^2 = \Sigma M_J^2 = A^{\prime 2} + B^{\prime 2} + C^{\prime 2} + D^{\prime 2}\) führen, wenn man innere Quadrate an die Stelle der algebraischen Quadrate setzt, auf Beziehungen zwischen gewissen \textit{Monge}schen Kugeln. Man kann diese Beziehungen auch auf orientierte Kugeln ausdehnen. Werden die den Ecken zugeteilten Massen den Inhalten der Flächen des Vierflachs proportional gesetzt, so ergibt sich aus den entstehenden Gleichungen das Vorhandensein eines ``\textit{Lemoine}schen Punktes'' des Vierflachs, dessen homogene baryzentrische Koordinaten die Quadrate der Inhalte der Flächen des Vierflachs sind. Duale Betrachtungen gehen statt von den Ecken von den Flächen des Vierflachs aus. Zum Schluß wird auf mögliche Erweiterungen hingewiesen, auf einen zweiten \textit{Lemoine}schen Punkt, eine \textit{Lemoine}sche Ebene, eine \textit{Brocard}sche Gerade, eine \textit{Brocard}sche Kugel und sechs \textit{Apolloni}sche Kugeln. Diese Erweiterungen sollen in einer zweiten Arbeit behandelt werden.