On Schläfli's generalization of Napier's pentagramma mirificum. (Q2606792)

Ein in \(C\) rechtwinkliges sphärisches Dreieck mit den beiden übrigen Winkeln \(A, B\) und den Seiten \(a, b, c\) kann nach \textit{Napier} als Glied einer Kette von fünf Dreiecken angesehen werden, deren Elemente eng miteinander verbunden sind. Schreibt man nämlich: \[ \nu_0 = A, \quad \nu_1 = \frac 12 \pi - a, \quad \nu_2 = c, \quad \nu_3 = \frac 12 \pi - b, \quad \nu_4 = B, \] so erhält man die Elemente der vier übrigen Dreiecke durch zyklische Vertauschung der Indices. Werte \(\nu_i\), die in dieser Weise zu einer Kette von fünf Dreiecken gehören, kann man nach \textit{G. T. Bennett} (noch nicht veröffentlicht) auf folgende Weise gewinnen: Man wähle auf einer Geraden die Punkte \(X_0, X_1, X_2, X_3, X_4\), konstruiere die Halbkreise mit den Durchmessern \(X_1X_3, X_2X_4, X_0 X_3, X_1 X_4, X_0X_2\). Diese bilden dann ein von Kreisbogen begrenztes Fünfseit, dessen Winkel die Werte \(2\nu_i\) darstellen. Läßt man in der Figur die Punkte \(X_0, X_4\) im unendlich fernen Punkte zusammenfallen, so bleibt der Halbkreis über \(X_1X_3\) und die Senkrechte in \(X_2\). Dieses Diagramm kann zur Darstellung der Elemente eines ebenen rechtwinkligen Dreiecks dienen. \textit{W. A. Wythoff } (Proc. Akad. Wet. Amsterdam 9 (1907), 529-534) hat das Ergebnis von \textit{Napier} auf den sphärischen Raum von drei Dimensionen verallgemeinert und dort ein zweifach rechtwinkliges Tetraeder behandelt. Dieses besitzt fünfzehn charakteristische Bestimmungsstücke \(\nu_{rs}\). Verf. zeigt, daß man, von sechs Punkten einer Geraden (oder, nach Ausführung einer Inversion, eines Kreises) ausgehend, fünfzehn passende Werte \(2\nu_{rs}\) erhalten kann, wenn man über den von den Punkten bestimmten Strecken Halbkreise beschreibt und deren Winkel bestimmt. Er verallgemeinert ferner das Resultat auf das analoge Simplex mit \(\binom{m+2}{4}\) charakteristischen Elementen im sphärischen Raume von \(m -1\) Dimensionen (\textit{Schläfli}s Orthoschema) und zeigt endlich, daß man dadurch, daß man gewisse Punkte \(X\) zusammenfallen läßt oder die Reihenfolge der Punkte \(X\) abändert, die Bestimmungsstücke für die entsprechenden Simplexe im euklidischen oder einem anderen nichteuklidischen Raume erhalten kann. Zum Schluß wird eine Anwendung auf die Volumbestimmung der regulären Polytope im \(m\)-dimensionalen euklidischen Raume gemacht, die darauf beruht, daß jedes derartige Polytop in eine Anzahl von Orthoschemata zerlegt werden kann.