Two canonical forms for a net of quadratic surfaces. (Q2606894)

Ein lineares \(\infty^2\)-Netz bestimmt als geometrischen Ort der Spitzen aller in dem Netz enthaltenen Kegel eine Kurve sechster Ordnung vom Geschlecht 3. Sie kann auch als Ort aller Punkte definiert werden, deren Polarebenen bezüglich des Netzes sich in einer Geraden schneiden. Nach Untersuchungen von \textit{Sturm} und \textit{Reye} sind diese zu je einem Punkt der Kurve konjugierten Geraden Trisekanten der Kurve, und durch jeden Punkt derselben gehen drei hindurch. Dadurch, daß er drei solche Trisekanten durch einen Kurvenpunkt als Koordinatenachsen einführt, erhält Verf. eine kanonische Darstellung aller Quadriken des Netzes als Quadratsumme von \(X\), \(Y\), \(Z\), \(T\), \(X + Y + Z\) und \(X + Y + Z + T\). Durch Beziehung der Flächen des Netzes auf die Punkte einer Ebene nach \textit{Hesse} geht die Raumkurve in eine bestimmte ebene \(C_4\) über, in der sich die Konfigurationen zwischen den Trisekanten in solchen zwischen dreimal berührenden Kegelschnitten widerspiegeln. 24 der Trisekanten der \textit{Jacobi}schen Kurve berühren diese nun. Durch den zu einer solchen Geraden konjugierten Punkt gehen nur noch zwei weitere Trisekanten. Spezialisiert man hiermit wiederum in geeigneter Weise das Koordinatensystem, so ergibt sich eine weitere kanonische Form für alle Quadriken des Netzes in der Gestalt: \(aX^2 + 2hXY + bY^2 + cZ^2 + dT^2 + 2eZ(Y + T) = 0\). \ \ (V 5 D.)