La teoria generale delle corrispondenze tra varietà algebriche. I, II. (Q2606901)

\textbf{I.} Verf. gibt in großen Zügen die Hauptsätze seiner Theorie der algebraischen Korrespondenzen zwischen zwei Mannigfaltigkeiten \(M_r\) und \(M_r^\prime\) an, die sich auf die Theorie der Äqiuvalenzscharen stützt. Eine \(\infty^r\)-Korrespondenz \(T(\alpha, \beta)\) hat die Valenz 0, wenn dem allgemeinen Punkt \(x\) von \(M_r\) eine Punktgruppe \(X^\prime\) innerhalb einer Äquivalenzschar entspricht; dann hat auch \(T^{-1}\) die Valenz 0. Innerhalb der Produktmannigfaltigkeit \(W = M_r \times M_r^\prime\) gehört \(T\) einem Äquivalenzsystem an, das sich als Summe spezieller ausgearteter nullvalenter Korrespondenzen \(S_1, \dots, S_{r-1}\) darstellen läßt: \[ T \equiv X \times M_r^\prime + X^\prime \times M_r + S_1 + \cdots + S_{r-1}. \] Mit den gleichen ausgearteten Korrespondenzen \(S_1, \dots, S_{r-1}\) ist auch \(T^{-1}\) zusammenzusetzen. Ist \(M_r = M_r^\prime\) und \(\varOmega\) die identische Korrespondenz, so sind die Schnittzahlen \([S_\nu, \varOmega] = \delta_\nu\) \((\nu = 1, \dots, r-1)\) die Rangzahlen von \(T\), und das Korrespondenzprinzip für nullvalente \(T\) lautet \[ [T, \varOmega] = \alpha + \beta + \delta_1 + \cdots + \delta_{r-1}. \] Die Rangzahlen mit gleichem Index verhalten sich additiv bei einer Addition der \(T\). \textbf{II.} Eine Korrespondenz \(T(\alpha, \beta)\) auf \(M_r\) hat die Valenz \(\gamma \neq 0\), wenn \(T + \gamma \varOmega\) die Valenz 0 hat; sind \(S_1, \dots, S_{r-1}\) die zur Darstellung von \(T + \gamma \varOmega\) benötigten ausgearteten Korrespondenzen, so heißen \([S_\nu, \varOmega] - \gamma\) die Rangzahlen \(\delta_\nu\) von \(T\). Der Schnitt mit \(\varOmega\) liefert wieder das Korrespondenzprinzip, wobei zu beachten ist, daß die Schnittschar \((\varOmega, \varOmega)\) bis auf den Faktor \((-1)^r\) mit der invarianten \textit{Severi}schen Äquivalenzschar von \(M_r\) übereinstimmt, deren Ordnung sich mittels der \textit{Zeuthen-Segre}schen Invarianten \(I_r\) von \(M_r\) in der Form \((-1)^r \cdot I_r + r - 1\) ausdrückt. Schließlich definiert man eine Pseudovalenz \(\gamma\) dadurch, daß ein Vielfaches \(kT\) die Valenz \(k\gamma\) hat. Der Schluß der Arbeit befaßt sich mit der Erweiterung der Theorie auf die \(\infty^{r + \lambda}\)-Korrespondenzen \((\lambda = 1, \dots, r -1)\) zwischen \(M_r\) und \(M_r^\prime\).