The rational quartic curve in space of three and four dimensions. (Q2606976)

Das Werk ist als Einführung in die Theorie rationaler Kurven gedacht und behandelt dieselbe an den beiden wichtigen Beispielen der rationalen Quartik \(C\) im \(R_4\) (Kap. I) und der rationalen Quartik \(C_1\) im \(R_3\) (Kap. II). I. Es wird mit linearen Punkttransformationen (Kollineationen) der Gebilde zweier \(R_4\) begonnen, wobei als Spezialfälle die harmonische Inversion und die harmonische Perspektive erscheinen. Die Definition von \(C\) und die Angabe ihrer allgemeinen Parametergleichung führt zur Einführung eines oskulierenden Koordinatensystems, in dem sich die Gleichung von \(C\) wesentlich vereinfacht. Aus ihr ist dann direkt eine projektive Erzeugung von \(C\) zu ersehen: \(C\) liegt auf sechs linear unabhängigen Quadriken und kann durch sieben allgemeine Punkte festgelegt werden. Es folgt die Herleitung der für die Geometrie von \(C\) fundamentalen Polarität und die Ableitung der Gleichungen der Trisekantenebenen, woraus sich dann, zusammen mit der Gleichung der Chordalen, die charakteristischen Zahlen 4, 6, 6, 4 der vollständigen Figur von \(C\) ergeben. Sodann werden die Invarianten und Kovarianten der \(C\) in sich überführenden Kollineationen aufgesucht. Sämtliche abgeleiteten Hauptformeln werden dann in besonderer Symbolik geschrieben und der Zusammenhang mit der Erweiterung der Ergebnisse auf Normalkurven höherer Ordnung hergestellt. Hierauf werden quadratische Involutionen auf \(C\) betrachtet und in sehr interessanter Weise die Kollineationen und ihre Eigenschaften untersucht, die \(C\) in sich überführen und einen gegebenen allgemeinen Punkt festlassen. Gegenüber solchen Transformationen bleiben alle Punkte einer Geraden (\(g\)-\textit{Linie}) fest. Die Betrachtung der im Zusammenhang mit \(C\) als Schnittort der \(C\) oskulierenden Ebenen auftretenden Fläche vierter Ordnung \(K\), die Aufstellung ihrer Gleichungen und die Ableitung ihrer Eigenschaften führt zu der Behandlung des kubischen \textit{Segre}schen Systems durch \(K\), zu den Knotenanordnungen auf \(K\) und endlich zu der wichtigen Abbildung der \(g\)-Linien durch eine dreidimensionale Punktmannigfaltigkeit \(G\) im \(R_6\). Es wird im Anschluß daran gezeigt, daß die \(g\)-Linien drei linearen Komplexen angehören, worauf die zu \(C\) apolaren Komplexe studiert werden. Die Abbildung der Geraden des \(R_4\) schließt das erste Kapitel ab. Den meisten Abschnitten sind eine Fülle von Beispielen, die die Theorie ergänzen, und weitere Ausführungen angefügt. II. Das zweite Kapitel entwickelt die Geometrie der rationalen Kurve vierter Ordnung \(C_1\) im \(R_3\). Ihre Einteilung in solche erster und zweiter Art, je nachdem \(C_1\) auf zwei oder auf einer einzigen Quadrik liegt, wird gegeben; beide Typen werden durch Eigenschaften gekennzeichnet. Es folgt die Einführung der Gleichung der Fundamentalquartik \(f\), deren Wichtigkeit darin besteht, daß eine Kollineation \(C_1\) in eine andere Quartik \(\bar C_1\) verwandelt, die dieselbe \(f\)-Gleichung hat. Die \(C_1\) in sich überführenden Kollineationen beherrschen dabei die projektive Geometrie auf der Kurve. Es gibt im allgemeinen drei Involutionen \(I_i\) (\(i = 1, 2, 3\)), die die \(f\)-Gleichung ungeändert lassen (\textit{Hauptinvolutionen} auf \(C_1\)). Sie werden ausführlich untersucht und ihre Eigenschaften herausgearbeitet. Hierauf werden besondere Punkte, Trisekanten und \textit{Hesse}-Punkte betrachtet und im Anschluß daran kubische Involutionen auf \(C_1\). Es folgt die Untersuchung der Oskulationsebenen und der Tangenten und die Behandlung quadratischer Involutionen auf \(C_1\). Die Bitangentenebenen von \(C_1\) von denen es durch einen beliebigen Punkt vier gibt, schließen sich an. Als Projektion von \(K\) erscheint dann die \textit{Steinersche Fläche} vierter Ordnung \((k)\) im \(R_3\), worauf die \textit{Veronesesche Fläche} im \(R_5\) betrachtet, ihre Gleichung angegeben und ihre Eigenschaften entwickelt werden. Die Gleichungen von \((k)\) und ihrer asymptotischen Kurven, schließlich die komplementären Quartiken auf \((k)\) vervollständigen die allgemeinen Betrachtungen. Es folgt die Behandlung besonderer Typen von Quartiken \(C_1\) (die äquianharmonische \(C_1\) die harmonische \(C_1\) die \(C_1\) mit einer stationären Tangente, die \(C_1\) mit einer Spitze, die \(C_1\) mit zwei stationären Tangenten) und die Angabe ihrer Eigenschaften. Fast jedem Teilabschnitt sind auch hier wieder eine Reihe interessanter Beispiele beigegeben, die die allgemeine Theorie illustrieren und weiterführen. Am Schluß folgt noch eine Note über weitere Involutionen auf \(C\). (V 5 E.)