Equivalenza d'una curva come gruppo virtuale parziale d'una serie d'equivalenza sopra una superficie. (Q2606994)

In der Theorie der Äquivalenzscharen auf einer algebraischen Fläche \(F\) kommt es vor, daß die die Schar durchlaufende Punktgruppe in einer besonderen Lage nicht nur einzelne Punkte, sondern eine Kurve \(D\) enthält. Welcher Punktgruppe oder welchen Gruppen ist die Kurve äquivalent zu setzen, d. h. welche Punktgruppen auf \(D\) treten als Grenzlage eines Teils der die Schar durchlaufenden Gruppe auf, wenn diese der besonderen Lage zustrebt? Die Fläche liege im Raume \(S_r\); die Schar werde von einer Familie von Mannigfaltigkeiten \(M_{r-2}\) ausgeschnitten. Die Antwort lautet dann: Die gesuchte Gruppe ist äquivalent \(L+(r+1)G-(D,D)_F\). Dabei ist \(L\) die Gruppe der Schnittpunkte von \(D\) mit einer kanonischen Mannigfaltigkeit von \(M_{r-2}\), \(G\) ein überebener Schnitt von \(D\) und \((D,D)_F\) eine charakteristische Gruppe von \(D\) als Kurve auf \(F\). Dies wird zuerst für \(r = 4\) bewiesen; in diesem Falle ist die gesuchte Gruppe außerdem äquivalent \(K + 5G - (D,D)_F-(D,D)_M\), worin \(K\) eine kanonische Gruppe von \(D\) ist. Dann wird das Ergebnis auf \(r > 4\) übertragen und erweist sich schließlich auch für \(r = 3\) als richtig.