Un teorema sopra le superficie algebriche con due fasci unisecantisi, ed una relazione fra gli angoli sotto cui si incontrano due curve algebriche tracciate su di una sfera. (Q2606999)

\(F\) sei eine algebraische Fläche mit zwei Kurvenbüscheln \(\mathfrak A\), \(\mathfrak B\) der Schnittzahl \([A, B] = 1\); \(C\), \(C'\) zwei beliebige Kurven auf ihr mit den Schnittzahlen \([A, C] = \alpha\), \([A,C'] = \alpha'\), \([B,C] = \beta\), \([B,C'] = \beta'\); ferner mögen die \(\alpha'\) Kurven \(B\) durch die Schnittgruppe \((A,C')\) bei Variation von \(A\) in einem Linearsystem variieren. Zieht man dann in jedem der \(\alpha\beta' + \alpha'\beta\) Schnittpunkte \((C,C')\) die Tangenten \(c\), \(c'\), \(a\), \(b\) an die durchgehenden Kurven \(C\), \(C'\), \(A\), \(B\), so folgt aus dem Korrespondenzprinzip, daß die Summe der Doppelverhältnisse \[ \sum (acc'b) = \alpha'\beta = \;\text{ganze Zahl} \] ist. Ist \(F\) speziell die Kugel, sind \(\mathfrak A\), \(\mathfrak B\) deren Erzeugende, \(C\), \(C'\) beliebig und sind \(\varphi\) deren Schnittwinkel, so folgt \[ \sum \operatorname{cotg}\varphi= \frac i2(\alpha'\beta -\alpha\beta'), \] und dieser Ausdruck verschwindet dann und nur dann, wenn \(C\), \(C'\) algebraisch abhängig sind.