Su alcune varietà algebriche a tre dimensioni aventi curve sezioni canoniche. (Q2607015)

Die Arbeit befaßt sich mit den \(V_3^{2p-2}\) des \(S_{p+1}\), deren sämtliche Geschlechter verschwinden und deren Schnitte mit den \(S_p\) reguläre Flächen \(V_2^{2p-2}\) sind, bei denen sämtliche Geschlechter 1 und deren Hyperebenenschnitte kanonische Kurven des Geschlechts \(p\) sind. Solche \(V_3^{2p-2}\) existieren nur für die niedrigsten Werte von \(p\); Verf. untersucht sie hier für die Fälle \(p = 5\), 6, 7; in jedem derselben enthält \(V_3^{2p-2}\) eine Regelfläche, die ihr vollständiger Schnitt mit einer \(V_k^p\) des \(S_{p+1}\) ist und die daher eine Doppelkurve besitzt, welche jede Erzeugende in \(k + 1\) Punkten trifft. Für \(p > 4\) muß man unterscheiden, ob (a) die kanonischen Kurven eine \(g_3^1\) enthalten oder (b) nicht enthalten; im Falle (a) liegt in der \(V_3^{2p-2}\) ein Büschel kubischer Flächen. Für \(p = 5\) ist die \(V_3^8\) des Falles (b) die Basismannigfaltigkeit eines Netzes von \(V_5^2\), sie enthält eine Regelfläche \(R\) der Ordnung 128; enthält \(V_3^8\) eine Ebene \(\pi\), so ist sie rational, und \(\pi\) zählt in \(R\) fünffach; enthält sie eine kubische normale Regelfläche, so ist sie ebenfalls rational. Der Fall (a) führt für \(p = 5\) zu einer \(V_3^8\), die birational äquivalent einer Involution von Punktepaaren des \(S_3\) ist; sie enthält je eine Regelfläche der Ordnung 35 und 93. Für \(p = 6\) ist die \(V_3^{10}\) des Falles (b) birational äquivalent einer Involution sechster Ordnung des \(S_3\); sie enthält eine Regelfläche der Ordnung 100, die ihr vollständiger Schnitt mit einer \(V_7^{10}\) ist; die allgemeine \(V_3^{10}\) ist Schnitt einer \(V_4^5\) mit einer \(V_6^2\). In ähnlicher Weise gelangt man für \(p =7\) zu einer \(V_3^{12}\) des \(S_8\) durch Schnitt einer \(V_7^2\) mit einer \(V_4^6\) mit elliptischen Hyperebenenschnitten; ist diese \(V_4^6\) eine \textit{Segre}mannigfaltigkeit, so wird die \(V_3^{12}\) einer Involution von Punktepaaren des \(S_3\) äquivalent; sie enthält zwei Regelflächen der Ordnung 36. Auch der zweite Typus von \(V_4^6\) mit elliptischen Hyperebenen-Schnittkurven führt zu einer \(V_3^{12}\), die eine Kongruenz erster Ordnung von Kegelschnitten enthält. Der Fall (a) ergibt solche \(V_3^{12}\), die drei Kegelschnittkongruenzen erster Ordnung enthalten. Die Rationalität bleibt bei den meisten untersuchten Mannigfaltigkeiten zweifelhaft.