Sulle varietà di Veronese a due indici. I, II. (Q2607026)

I. Bildet man die Überflächen zweiter Klasse \(V_2\) eines \(R_n\) eineindeutig auf die Punkte eines \(R_\nu\) (\(\nu = \frac 12 n(n+3))\) ab, so entsprechen den \(r\)-fach ausgearteten \(V_2\) die Punkte einer \textit{Veronese}schen Mannigfaltigkeit \(\varPhi^{(r)}\) der Indices \((r,n)\); deren Dimension \(\delta_{r,n}\) und Ordnung \(\varkappa_{r,n}\) ist leicht anzugeben. Da offenbar \(\varPhi^{(r+1)}\) in \(\varPhi^{(r)}\) enthalten ist, so leistet Verf. zunächst die Bestimmung des Tangentenkegels an \(\varPhi^{(r)}\) in einem beliebigen Punkte von \(\varPhi^{(s)}\) (\(1 \leqq r \leqq s \leqq n\)); \(\varPhi^{(r)}\) geht durch \(\varPhi^{(s)}\) mit der Vielfachheit \(\varkappa_{r,s-1}\), und umgekehrt ist \(\varPhi^{(s)}\) der Ort der \(\varkappa_{r,s-1}\)-fachen Punkte von \(\varPhi^{(r)}\) so daß die Folge der \(\varPhi^{(1)}\), \dots, \(\varPhi^{(n)}\) durch eine dieser Mannigfaltigkeiten vollständig festgelegt ist. II. Auf einer \(V_2\), die dem Punkte \(P\) entspreche, schneiden die Unterräume \(R_{n-r}\) (\(r = 1, 2, \ldots, n - 1\)) Quadriken aus, die als Kernmannigfaltigkeiten \(r\)-fach ausgearteter \(V_2\) des \(R_n\) aufgefaßt werden können; die letzteren bilden sich auf die Punkte einer auf \(\varPhi^{(r)}\) gelegenen Mannigfaltigkeit \(\varPi^{(r)}\) ab, die man von \(P\) auf \(\varPhi^{(r)}\) induziert nennt. Die Dimension von \(\varPi^{(r)}\) ist \(r(n-r+1)\), dagegen bereitet die Bestimmung der Ordnung große Schwierigkeiten. Es sei \(r + s = n + 1\), und \(P\) induziere auf \(\varPhi^{(r)}\) und \(\varPhi^{(s)}\) die Mannigfaltigkeiten \(\varPi^{(r)}\) und \(\varPi^{(s)}\); dann lassen sich diese durch eine Homologie mit \(P\) als Zentrum in einander überführen, und \(\varPi^{(r)}\) besteht aus den Punkten von \(\varPhi^{(r)}\), deren Verbindungslinien mit \(P\) \(\varPhi^{(r)}\) treffen. Dies gibt den Anhaltspunkt zur Berechnung der Ordnung von \(\varPi^{(r)}\), die mittels einer abzählenden Formel von \textit{Schubert} gelöst und für \(r = 1\) und 2 ausgeführt wird.