The Veronesean of quadrics and associated loci. (Q2607028)

Bei der bekannten Abbildung der Flächen zweiter Klasse des \(R_3\) auf Punkte des \(R_9\), die in letzter Zeit z. B. von \textit{Godeaux} untersucht worden ist (Mém. Soc. Sci. Liége (3) 14 (1926), Nr. 6; F. d. M. 52, 670 (JFM 52.0670.*)-671), werden die Flächen vom Range 3, 2, 1 den Punkten einer \(M_8^4\), einer \(M_6^{10}\) und einer \(M_3^8\) zugeordnet. Verf. untersucht den durch die Abbildung vermittelten Zusammenhang zwischen der \(M_3^8\) und dem \(R_3\), die auf \(M_8^4\) und \(M_6^{10}\) gelegenen ebenen Mannigfaltigkeiten, die Abbildung der Geraden, Ebenen und Räume \(R_3\) des \(R_9\) auf die verschiedenen Arten von Büscheln, Bündeln und Gebüschen von Flächen zweiter Klasse. Neue Tatsachen bringt hauptsächlich der letzte Teil (\S\ 7), in dem die Ebenen des \(R_9\) besprochen werden, für welche die entsprechenden Bündel von Flächen zweiter Klasse Polarnetze einer Fläche dritter Klasse sind. Ein Büschel von Flächen zweiter Klasse werde durch eine Gerade \(l\) von \(R_9\) dargestellt. Der Ort aller Punkte \(Q\), die mit \(l\) zusammen eine Ebene der angegebenen Art aufspannen, wird ein Kegel zweiter Ordnung \(V_l\) vom Range 6, dessen Scheitel-\(R_3\) der eindeutig bestimmte, durch \(l\) laufende \(R_3\) ist, der \(M_3^8\) in vier Punkten schneidet. Das durch diese vier Punkte bestimmte Tetraeder definiert mit der Geraden \(l\) einen tetraedralen Komplex. Ein Punkt \(Q\) spannt dann mit jeder Geraden des Komplexes eine Ebene der angegebenen Art auf. Nun stellt jeder \(R_3\) aus einem \(R_4\), der \(M_3^8\) in fünf Punkten schneidet, das Gebüsch der Polarflächen einer Fläche dritter Klasse dar. Alle solche \(R_4\) durch \(l\) liegen daher auf \(V_l\). Durch eine die Gerade \(l\) enthaltende Ebene von \(V_l\) laufen \(\infty^1\) \(R_4\) dieser Art. Zum Schluß wird gezeigt, daß sich auf dem Wege der Abbildung auch beweisen läßt, daß die bezüglich eines Polarnetzes selbstkonjugierten Pentagramme auf einer Raumkurve dritter Ordnung eine \(g_5^1\) beschreiben, eine Tatsache, die \textit{Edge} kürzlich seinen Untersuchungen über das Polarnetz zugrunde gelegt hat (Proc. Edinburgh math. Soc. (2) 4 (1936), 185-209; JFM 62.0765.*-766). (V 5 B.)