Sur quelques propriétés métriques d'ensembles. (Q2607078)

Es sei \(E\) eine behebige ebene Punktmenge, \(a\) ein Punkt von \(E\) und \((a_n)\) eine Punktfolge aus \(E\), welche gegen \(a\) konvergiert. Wenn dann die von \(a\) ausgehenden, \(a_n\) enthaltenden Halbgeraden gegen eine Halbgerade \(h\) konvergieren, so heiße \(h\) eine mediane Halbtangente in \(a\) an \(E\) (abgekürzt m. HT.) und die Gesamtheit aller \(h\) das Kontingent contg \((a, E)\) von \(E\) in \(a\). Die Trägergerade \(g\) zweier komplementärer m. HT. in \(a\) heiße eine mediane Tangente (m. T.) in \(a\) an \(E\); enthält die eine der von \(g\) begrenzten offenen Halbebenen \(H_g\) keine m. HT. in \(a\), so heiße \(g\) \textit{extreme} m. T. und \(H_g\) leere Seite von \(g\). Eine m. T. heißt die (eindeutig bestimmte) Tangente in \(a\) an \(E\), wenn contg \((a, E)\) keine nicht auf dieser Tangente gelegene m. HT. enthält. Schließlich bezeichne \(h (a, r)\) die von \(a\) ausgehende Halbgerade der Richtung \(r\). Es wird gezeigt: (1) Ist \(r\) fest gegeben, so ist die Menge \(P\) derjenigen Punkte \(a\in E\), für welche contg \((a, E)\) fremd ist zu \(h (a, r)\), enthalten in einer Summe abzählbar vieler, einfacher rektifizierbarer Bogen; und in jedem Punkte von \(P\), ausgenommen eine Menge der Länge null, existiert eine extreme m.T. Für \(r =\dfrac {\pi }{2}\) ist jeder der genannten Bogen darstellbar als Bild einer stetigen Funktion \(y = f (x)\), wo \(f (x)\) einer \textit{Lipschitz}bedingung genügt. -- (2) Die Menge \(R\) aller Punkte \(a\) von \(E\), in welchen contg \((a, E)\) nicht die ganze Ebene überdeckt, ist Teil einer Summe abzählbar vieler stetiger, rektifizierbarer Bogen, und für jeden Punkt \(a\) aus \(R\), bis auf eine Menge von der Länge null, überdeckt contg \((a,E)\) entweder genau eine Halbebene oder genau eine Gerade. -- (3) Die Menge aller Punkte \(a\) von \(E\), in welchen eine zur festen Richtung \(r\) parallele extreme m. T. existiert, projiziert sich orthogonal auf eine zu \(r\) senkrechte Gerade in eine Menge von Maße null. -(4) Ist \(f(x)\) definiert auf der linearen Menge \(L\) und ist in jedem Punkte von \(L\) eine der extremen Derivierten von \(f (x)\) endlich, so ist diese Derivierte gleich ihrer entgegengesetzten, ausgenommen eine lineare Nullmenge \(N\), für welche die Menge der Punkte (\(x, f (x)\) mit \(x\in N\) die Länge null besitzt (``entgegengesetzt'' heißen die vordere (bzw. die hintere) Ober- und die hintere (bzw. die vordere) Unterderivierte im gleichen Punkte \(x\)). Ist die vordere Oberderivierte von \(f (x)\) in \(L\) beschränkt: \(|\bar f^+ (x)|\leqq M\), so gilt: \(|f(x)\leqq M\,|L|\), wo \(|L|\) das Maß von \(L\) bedeutet; ferner ist die Länge der Menge \((x, f (x)\); \(x\in L\)) nicht größer als \((M + 1) \cdot |L|\). Fast nirgends ist \[ \underset{^{h\to 0 +}}{\text{Lim}} \,|f(x+h)-f(x)|: h = \infty . \] In einem Zusätze bei der Korrektur nimmt Verf. Bezug auf die inzwischen zu seiner Kenntnis gelangten Noten von \textit{F. Roger} (C. R. Acad. Sci, Paris, 201 (1935), 871-873 (JFM 61.0729.*) und nachstehend besprochene Arbeit) und skizziert mit Hilfe seiner für den Fall \(n = 2\) benutzten Methode Beweise für die Verallgemeinerung seiner obigen Sätze auf den \(R_n\) \((n\geqq 3)\), welche den Sätzen von \textit{Roger} entsprechen. Vgl. auch das folgende Referat.