Sur la répartition de certaines directions limites et son application à la théorie des fonctions de variable complexe. (Q2607080)

Es werden (ohne Beweise) folgende Sätze mitgeteilt (Bezeichnungen: Buchstaben \(L\), \(V\), \(R\) usw. mit einem Index \(p\), \(q\) usw. bedeuten euklidische lineare \(p\)-, \(q\)- usw. dimensionale Mannigfaltigkeiten): Es sei \(E\) eine Punktmenge in einem \(R_k\), ferner \(e\) die Projektion von \(E\) auf eine \(V_n\subset R_k\) parallel zu \(V_{k-n}\) mit \(V_n\times V_{k-n} = R_k\). Sind \(\bar E\), \(\bar e\) die abgeschlossenen Hüllen von \(E\) bzw. \(e\), ist ferner \(m\) ein Punkt von \(\bar e\) und \(M\) ein Punkt von \(\bar E\), der sich nach \(m\) projiziert (unendlich ferne Punkte von \(\bar e\), \(\bar E\) sind zugelassen), so betrachte man die Limiten der Projektionen von Halbsekanten \(MM'\) von \(E\), wo \(M'\in E\) mit \(M'\to M\). Die Menge aller dieser Limiten sei \(P (m, M)\), sogenanntes Projektions\-kontingent an \(e\) in \(m\) bezüglich \(M\); die Menge derjenigen Geraden (nicht Halbgeraden) durch \(m\), deren \textit{beide} von \(m\) begrenzte Halbgeraden zu \(P (m, M)\) gehören, heiße der bilaterale Teil von \(P (m, M)\). -- Satz: Die Punkte \(m\) mit mindestens einem zugehörigen \(P (m, M)\), dessen bilateraler Teil eine \(L_{n-p}\) ausläßt, liegen auf (höchstens) abzählbar vielen \(p\)-dimensionalen ``Elementarmannigfaltigkeiten'' (z.B. Kurven für \(p= 1\), Flächen für \(p=2\)) von je endlichem \(p\)-dimensionalem Maß. In den Punkten \(m\) der letztgenannten Art, ausgenommen höchstens eine Menge vom \(p\)-dimensionalen Maße null, ist der bilaterale Teil eines jeden zugehörigen \(P (m, M)\) eine \(L_p\) und \(P(m, M)\) besteht aus einem System von Halb-\(L_{p+1}\), begrenzt je von der \(L_p\). Bei einer erneuten Projektion innerhalb \(V_n\) auf eine \(V_q\) parallel zu einer \(V_{n-q}\) mit \(V_q\times V_{n-q} = V_n\) projizieren sich diejenigen Punkte \(m\) von \(\bar e\), für welche die Projektion des bilateralen Teiles mindestens eines der \(P (m, M)\) eine \(L_{q-r}\) ausläßt, in eine Menge vom \((r + 1)\)-dimensionalen Maße null. -- Anwendung: Diejenigen Punkte \(P\), in welchen eine beliebige (auch nicht notwendig eindeutige) komplexe Funktion einer komplexen Veränderlichen nicht jedem ihrer Häufungswerte bei beliebiger ``halbtangentialer'' Annäherung an \(P\) zustreben kann, sind enthalten in einer Summe von höchstens abzählbar vielen rektifizierbaren Bogen. In jedem dieser Ausnahmepunkte, bis auf höchstens eine Menge von der Länge null, kann jeder der Ausnahmehäufungswerte erreicht werden entweder bei beliebiger halbtangentialer Annäherung an den Punkt innerhalb einer Halbebene oder bei Annäherung lediglich längs der beiden Halbgeraden einer bestimmten Geraden. Diejenigen Punkte, für welche die zuletzt genannten Geraden bzw. die Begrenzungen der vorher genannten Halbebenen einer festen Richtung parallel sind, projizieren sich auf eine zu dieser Richtung senkrechte Gerade in eine Nullmenge. Die Menge derjenigen Punkte, für welche der Funktionswert oder einer der Häufungswerte für keine Gerade \(g\) bei halbtangentieller Annäherung längs der \textit{beiden} Halbgeraden von \(g\) erreicht wird, sind nur in höchstens abzählbarer Anzahl vorhanden. -- Als Anwendung des letzten Satzes ergibt sich ein Kriterium für Analytizität, d. h. dafür, daß in den Punkten einer bestimmten Menge der komplexen Ebene (bis auf gewisse Ausnahmen) der Differenzenquotient einen eindeutig bestimmten Grenzwert besitzt. (IV 4 A.)