Directions, contingent et paratingent dans les espaces distanciés. (Q2607090)

I. Es sei \(M\) ein metrischer Raum und \(|P, Q|\) die Entfernung zweier Punkte \(P, Q\) von \(M\). Dann liefern die \textit{geordneten} Paare \(\{ P_1, P_2\} \) von \textit{verschiedenen} Punkten aus \(M\) vermöge der Festsetzung \(|\{ P_1, P_2\},\,\{ Q_1, Q_2\} |=|\{ P_1, Q_1\} | +|\{ P_2, Q_2\} |\) einen metrischen Raum \(M_r\), das sogenannte reduzierte Produkt von \(M\) mit sich (vgl. \textit{Kuratowski} und \textit{Ulam}, Fundam. Math., Warszawa, 19 (1932), 247-251; JFM 58.0634.*). Ist \(M\) ein Kontinuum, so besitzt \(M_r\) höchstens zwei Komponenten; und zwar genau zwei dann und nur dann, wenn M ein Bogen ist. II. Es sei jetzt (vgl. \textit{Menger}, C. R. Acad. Sci., Paris, 202 (1936), 1007-1009; JFM 62.0570.*) \(\theta (P_1, P_2)\) eine eindeutige stetige Funktion über dem Definitionsbereich \(M_r\), deren Werte \(\theta \) in einem metrischen Raum liegen; \(\theta \) kann als (verallgemeinerte) Richtung von \(\{ P_1, P_2\} \) bezeichnet werden. (Nicht notwendig ist \(\theta (P_1, P_2)=\theta (P_2, P_1)\). Ist \(M\) ein Kontinuum, so besitzt die Wertmenge von \(\theta \) über \(M_r\) höchstens zwei Komponenten, und zwar genau eine jedenfalls dann, wenn \(\theta (P_1, P_2)=\theta (P_2, P_1)\). Sind zwei Komponenten vorhanden, so ist \(K\) ein Bogen. III. Bezüglich \(\theta \) kann nun das \(\theta \)-Kontingent bzw. \(\theta \)-Paratingent von \(M\) in einem punkte \(R\in M\) erklärt werden entsprechend wie üblich, wo \(M\) der euklidische \(R_n\) und \(\theta \) die Richtung einer Halbgeraden ist. Das \(\theta \)-Paratingent von \(M\) ist wieder oberhalb stetig (im weiteren Sume). Ist \(\theta \) kompakt und \(M\) ein Kontinuum, so ergibt sich aus II, daß das \(\theta \)-Paratingent höchstens zwei Komponenten besitzt usw. -- Beweise sind nicht angegeben.