Sur certaines propriétés caractéristiques des nombres algébriques. (Q2607113)

Nach einleitenden Hilfssätzen werden ohne Beweise folgende zwei Sätze angegeben: 1. Wenn man eine Folge von ganzen rationalen Zahlen \(a_0\), \(a_1\), \dots, \(a_n\), \dots finden kann, die es gestattet, ganze, immer positive Zahlen \(p_n\), \(q_n\) als Ausdrücke der Form \[ \begin{gathered} p_n = c_0 a_n + c_1 a_{n+1} + \cdots + c_k a_{n + k}, \\ q_n = d_0 a_n + d_1 a_{n+1} + \cdots + d_k a_{n + k}, \end{gathered} \] wobei \(c_0\), \(c_1\), \dots, \(c_k\) und \(d_0\), \(d_1\), \dots, \(d_k\) ganz rational sind, derart zu bilden, daß für alle \(n\) \[ |p_n-\alpha q_n| \leqq \frac C{q_n^\varepsilon} \quad (\varepsilon > 0) \] ist, so ist \(\alpha\) algebraisch und umgekehrt. 2. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Algebraizität der Zahl \(\alpha\) ist, daß man ein Polynom \(H(\alpha)\) mit ganzen Koeffizienten und eine Folge \(a_0\), \(a_1\), \dots, \(a_n\), \dots derart finden kann, daß für alle \(n\) \[ |a_{n+1} - H(\alpha) a_n| \leqq \frac 1{a_n^\varepsilon} \quad (\varepsilon > 0) \] ist. Der Grad von \(\alpha\) kann \(1 + \dfrac 1\varepsilon\) nicht übersteigen.