Ein Analogon zu einem Schneiderschen Satz. I, II. (Q2607115)

Auf Grund einer Arbeit des Ref. (vorangehendes Referat) zeigt Verf. den folgenden Approximationssatz: Ist \(\zeta\) eine algebraische Zahl, \(\beta\) eine Zahl \(> 1\) und hat die Ungleichung \[ \left| \frac pq - \zeta\right| \leqq q^{-\mu} \tag{1} \] unendlich viele Lösungen \[ \frac {p_1}{q_1}, \frac {p_2}{q_2}, \frac{p_3}{q_3}, \ldots \quad (2 \leqq q_1 \leqq q_2 \leqq \cdots ) \] in gekürzten Brüchen mit positiven Nennern, die allein durch endlich viele gegebene Primzahlen teilbar sind, so ist \[ \limsup_{n\to \infty} \frac{\log q_{\nu+1}}{\log q_\nu} = \infty. \] Verf. gibt auch an, daß obiger Satz, wie auch der Satz des Ref., einer Verallgemeinerung auf endliche Systeme algebraischer Zahlen fähig ist. Der Beweis des obigen Satzes, der in Mitteilung I begonnen und in Mitteilung II zu Ende geführt wird, enthält auch die charakteristischen Züge des Beweises des Ref., vereinfacht hingegen einige Rechnungen. -- Die Arbeit enthält außerdem den Satz: Ist \(\zeta\) eine nichtverschwindende algebraische Zahl, \(\mu\) eine positive Zahl, so gibt es höchstens endlich viele gekürzte Lösungen \(\dfrac pq\) von (1), für die \(p \cdot q\) allein durch endlich viele gegebene Primzahlen teilbar ist. Der Beweis dieses Satzes wird mittels Anwendung des \textit{Thue-Siegel}schen Satzes geführt. -- Verf. fügt hinzu, daß die sämtlichen Sätze auch gelten, wenn neben der Absolutbetragbewertung noch endlich viele \(p\)-adische Bewertungen berücksichtigt werden.