Zur Infinitesimalrechnung. (Q2607131)

Verf. geht davon aus, daß in der Vorlesung über Differential- und Integralrechnung die Einführung der reellen Zahlen die Hauptschwierigkeit bildet -- sowohl in sachlicher als auch in didaktischer Hinsicht. Zur Überwindung erinnert er an die geschichtliche Entwicklung, für die er drei Stufen unterscheidet: In der ersten, der von \textit{Leibniz} und \textit{Newton}, sind Differenzieren und Integrieren gewisse Verfahren, nach denen aus Funktionen neue Funktionen gebildet werden, und die gewissen Rechenregeln genügen; die zweite Stufe, die von \textit{Cauchy}, bringt als Neues die Lehre vom Grenzwert und von den stetigen Funktionen, und hier beweist \textit{Cauchy} selbst einen Satz durch Konstruktion einer Intervallschachtelung; in der dritten Stufe, der von \textit{Dedekind}, wird die Erkenntnis hinzugefügt, daß eine Intervallschachtelung nicht selbstverständlich einen Punkt bestimmt, durch die Theorie der Schnitte aber der Bereich der neuerdings als widerspruchsvoll erkannten Allheitsbegriffe gestreift. Verf. schlägt nun für den Aufbau der Infinitesimalrechnung den folgenden Weg vor, der entsprechend diesen drei Stufen vorgeht: Ausgangspunkt ist ein die rationalen Zahlen enthaltender geordneter Zahlkörper, in dem sich die anschaulich gegebenen Kurven als eine Wertezuordnung \(y=f(x)\) beschreiben lassen; der formale Kalkül der Differentialrechnung läßt sich hier einordnen, ebenso der Begriff des bestimmten Integrals, wenn das Integrationsintervall \(\langle a, \, b \rangle\) ``meßbar'' ist, d. h. wenn zu jedem \(\eta>0\) eine natürliche Zahl \(m\) und eine endliche Folge \(x_1, \ldots \!, x_{m+1}\) mit \(x_1 = a\), \(x_{m+1} = b\) und \(0 < x_{k+1}-x_k <\eta\) \((k= 1,\ldots \!, m)\) gefunden werden kann. Der Zusammenhang zwischen Differential- und Integralrechnung läßt sich aber noch nicht lückenlos in der gewohnten notwendigen Weise herstellen. Um diese Lücke zu schließen, muß man den vorgelegten Zahlkörper einengen, und zwar durch das \textit{Archimedi}sche und das Vollständigkeitsaxiom; in einem \textit{Archimedi}schen geordneten Körper läßt sich jede Zahl in einen Dezimalbruch entwickeln, und das Vollständigkeitsaxiom besagt, daß umgekehrt jeder Dezimalbruch eine Zahl des Körpers erklärt. Dieser zweiten Stufe folgt dann in der dritten der Nachweis der Widerspruchslosigkeit mit Hilfe der \textit{Dedekind}schen Konstruktion der reellen Zahlen und anschließend der Beweis der Sätze über Häufungspunkte und stetige Funktionen sowie der Mittelwertsätze der Differential- und Integralrechnung, durch den der Aufbau zu Ende geführt wird.